Jak znaleźć porządek w grupie sztywnych ruchów brył platońskich $\mathbb{R}^3$?
Poniższe pojawiają się jako ćwiczenia w Algebrze Dummita i Foote'a (sekcja $1.2$ - Grupy dwuścienne):
- Pozwolić $G$ być grupą sztywnych ruchów $\mathbb{R}^3$czworościanu. Pokazują, że$|G| = 12$
- Pozwolić $G$ być grupą sztywnych ruchów $\mathbb{R}^3$sześcianu. Pokazują, że$|G| = 24$
- Pozwolić $G$ być grupą sztywnych ruchów $\mathbb{R}^3$ośmiościanu. Pokazują, że$|G| = 24$
- Pozwolić $G$ być grupą sztywnych ruchów $\mathbb{R}^3$dwunastościanu. Pokazują, że$|G| = 60$
- Pozwolić $G$ być grupą sztywnych ruchów $\mathbb{R}^3$dwudziestościanu. Pokazują, że$|G| = 60$
Z tej odpowiedzi wywnioskowałem, że sztywne ruchy są izometriami zachowującymi orientację, tj. Odbicia nie są dozwolone.
Tak więc w przypadku czworościanu pomyślałem o osiach symetrii przechodzących przez wierzchołek i środek ciężkości przeciwległej ściany. Są cztery takie osie (nazwijmy je$A,B,C,D$). Wzdłuż każdej osi możemy zdefiniować$1_i, r_i, r_i^2$ jako trzy obroty z $r_i^3= 1$, element tożsamości ($i=A,B,C,D$). Ponieważ istnieją cztery takie osie,$|G| = 3\times 4 = 12$. Czy to w porządku, czy coś mi brakuje? Jestem trochę zaniepokojony tym$1_A,1_B,1_C,1_D$ może wszystkie mogą być takie same (ponieważ są to transformacje tożsamości) i że przeważam?
Drobne pytanie (objazd): Czy transformacje tożsamości odpowiadające różnym osiom są różne, czy takie same?
W przypadku kostki wykonałem następujące czynności:
- Dla każdej pary przeciwległych ścian mamy oś symetrii. Tam są$3$ stąd takie pary $3$ takie osie (powiedzmy $A,B,C,D$). O każdej zdefiniowanej przez nas osi$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ z $r_i^4 = 1$ gdzie $i=A,B,C,D$.
- Istnieją cztery przekątne ciała (powiedzmy $E,F,G,H$) i wokół każdej przekątnej (osi symetrii) definiujemy $1,r_j,r_j^2$ z $r_j^3= 1$ gdzie $j=E,F,G,H$.
W związku z powyższymi obliczeniami mamy $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
Stosowanie tej metody będzie później trudne w przypadku większych ciał stałych. Nie jest łatwo zidentyfikować ręcznie wszystkie osie symetrii. Co więcej, jedyną grupą, o której dowiedziałem się w tym miejscu szczegółowo, jest$D_{2n}$, więc proszę nie podawać rozwiązań typu „wymagana grupa$G$ jest izomorficzna względem znanej i dobrze zbadanej grupy $X$i wiemy $|X| = ?$ więc $|G| = ?$"
Myślę, że sprowadza się to do dobrego sposobu policzenia wszystkich wyraźnych sztywnych ruchów. Czy ktoś mógłby mi w tym pomóc?
Natknąłem się tutaj na rozwiązania Jamesa Ha , ale nie rozumiem, w jaki sposób rozwiązania przedstawione w pliku PDF są równoważne moim, nawet w przypadku czworościanów i sześcianów. Byłoby miło, gdyby ktoś mógł mi pomóc zobaczyć równoważność, a także powiedzieć mi, jak mam postępować z innymi bryłami platońskimi! Wielkie dzięki!
Odpowiedzi
Aby dodać rozwinięcie do istniejących odpowiedzi i dodatkowe komentarze:
Jak wspomina orangeskid, rozmiar grupy symetrii można wywnioskować z liczby przekształceń między dwoma krawędziami. Oto sposób, aby zobaczyć to wyraźniej:
Rozważ skierowane krawędzie wielościanu, które składają się z wierzchołka i krawędzi wychodzącej z tego wierzchołka (lub równoważnie krawędzi z wyróżnionym jednym z jej punktów końcowych). Jeśli mamy$e$ krawędzie, to mamy $2e$tych skierowanych krawędzi. Ponieważ używamy brył platońskich, każdą z nich można przenieść do innych (wynika to dość łatwo z większości definicji brył platońskich, ale powinno być całkiem intuicyjne).
Ale kiedy już poznamy tę jedną skierowaną krawędź $(v_1,e_1)$ przechodzi do innej skierowanej krawędzi $(v_2,e_2)$, całkowicie określiliśmy obrót: kiedy się ruszamy $v_1$ do $v_2$, ograniczyliśmy możliwe obroty do pojedynczej osi, wokół której rzeczy mogą się obracać (ponieważ mamy punkt, który jest teraz nieruchomy) i tylko jeden z tych sposobów obracania będzie się poruszał $e_1$ do $e_2$.
W szczególności oznacza to, że obrót jest jednoznacznie określony przez to, gdzie zajmuje pojedynczą skierowaną krawędź; ponieważ każdy z$2e$ możliwości daje unikalny obrót, musi być $2e$ możliwe obroty łącznie.
(Jeśli pozwolimy na transformacje odwracające orientację, jest ich dwa razy więcej; za każdy sposób skierowania skierowanej krawędzi do drugiej otrzymujemy drugą transformację, która naprawia tę skierowaną krawędź, zastanawiając się nad nią.)
Jeśli chodzi o transformacje tożsamości ustalające oś, są to wszystkie te same transformacje tożsamości; pozostawiają kształt bez zmian.
Aby dokładniej określić typy rotacji (zachowujących orientację) możliwych dla każdej możliwej bryły platońskiej:
Dla każdej bryły platońskiej możliwe obroty są albo nietrywialnymi obrotami wokół wierzchołka, a $180^\circ$ obrót wokół krawędzi, nietrywialny obrót wokół twarzy lub transformacja tożsamości.
W przypadku czworościanu ściany są przeciwległymi wierzchołkami, więc istnieją $4\cdot (3-1)$ nietrywialne obroty wierzchołków / ścian, $1$ tożsamość i $3$ przewracanie krawędzi ($6$ krawędzie, ale dwie używane na rzut), co daje łącznie $12$.
W przypadku sześcianu są $8\cdot (3-1)/2$ obroty wierzchołków, $6\cdot(4-1)/2$ rotacje twarzy, $12/2$ obrót krawędzi i $1$ tożsamość, w sumie $24$.
W przypadku ośmiościanu są $6\cdot(4-1)/2$ obroty wierzchołków, $8\cdot (3-1)/2$ rotacje twarzy, $12/2$ obrót krawędzi i $1$ tożsamość, w sumie $24$.
W przypadku dwunastościanu są $20\cdot(3-1)/2$ obroty wierzchołków, $12\cdot(5-1)/2$ rotacje twarzy, $30/2$ obrót krawędzi i $1$ tożsamość, w sumie $60$.
W przypadku dwudziestościanu są $12\cdot(5-1)/2$ obroty wierzchołków, $20\cdot(3-1)/2$ rotacje twarzy, $30/2$ obrót krawędzi i $1$ tożsamość, w sumie $60$.
Nic nie zastąpi wycięcia z kartonu czterech równych trójkątów równobocznych i sklejania ich razem w czworościan. Gdy to zrobisz, umieść czubek palca na środku krawędzi, a drugi czubek na środku przeciwległej krawędzi. Następnie obróć czworościan wokół osi łączącej opuszki palców. Powinieneś znaleźć to$180^\circ$obrót przywraca czworościan do siebie. Z mojego doświadczenia wynika, że trudno to sobie wyobrazić, dopóki nie zrobisz tego fizycznie.
Istnieją trzy takie pary przeciwległych krawędzi, a więc trzy takie $180^\circ$obroty. Te, wraz z tożsamością i ośmioma rotacjami$\pm120^\circ$ wokół różnych osi łączących środek ciężkości ściany z przeciwległym wierzchołkiem uwzględniają wszystkie obrotowe symetrie czworościanu.
Inne bryły platońskie mają podobne $180^\circ$obroty. Ale jeśli chcesz tylko policzyć, możesz zrobić coś prostszego. Rozpocznij od jednej ściany bryły zwróconej do Ciebie ze stałą orientacją (powiedzmy, że jedna krawędź jest pozioma). Jeśli to$m$-stronna twarz, są $m$ krawędzie, które mogą być poziome i te $m$orientacje można uzyskać od siebie nawzajem, obracając wokół środka twarzy. Teraz, jeśli ciało stałe ma$f$ twarze, dowolne z $f$można ustawić w pozycji „twarzą do siebie” przez obrót. A więc powinno być$mf$symetrie obrotowe. To wyjaśnia wszystko.
Odpowiedź orangeskid jest podobna, ale nawet prostsza niż ta. Zacznij od krawędzi skierowanej w Twoją stronę, zorientowanej poziomo. Niech pozioma płaszczyzna zawierająca tę krawędź będzie taka, że przecina dwuścienny kąt między dwiema ścianami, które spotykają się wzdłuż tej krawędzi. (Innymi słowy, z twojej perspektywy te dwie twarze, które są odchylone od ciebie, będą wyglądać na równe.) Teraz możesz wykonać$180^\circ$obrót omówiony powyżej, ale możesz także ustawić dowolną inną krawędź bryły w pozycji „skierowanej w stronę ciebie” przez obrót. Więc tutaj są$2e$ symetrie.
Dla wielościanów w $3$ przestrzeń możesz pokazać, że jest to przewaga $a$ można przenieść na inną krawędź $b$ przez $2$ transformacja bryły z zachowaniem orientacji (zdobądź ją, a następnie może się również obracać $b$). Jeśli weźmiesz pod uwagę wszystkie transformacje, to są$4$ takie transformacje. transformacje.
W związku z tym, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, gdzie $e$ jest liczbą krawędzi $S$.