Jeśli $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ dla wszystkich liczb wymiernych $a<b$, następnie $f(x)=0$ ae [duplikat]

Aug 16 2020

Pozwolić $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$być funkcją całkowitą.
Pokaż, że jeśli$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ dla wszystkich liczb wymiernych $a<b$, następnie $f(x)=0$ prawie wszędzie.

Wskazówka: najpierw udowodnij$\int\limits_Af=0$ dla $A$ otwarty zestaw, a następnie dla $A$ wymierny.

Moja próba: niech $A$ otwarty zestaw $\mathbb{R}$. Wtedy możemy pisać$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ gdzie $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$jest rozłącznym zbiorem otwartych interwałów z racjonalnymi punktami końcowymi (Czy to możliwe?)

Więc $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

Więc jak powinienem wykorzystać wynik do mierzalnych $A$ co więcej, po zrobieniu tego robi $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ sugeruje $f=0$ae?
Doceniam Twoją pomoc

Odpowiedzi

ratatuy Aug 16 2020 at 02:27

Myślę, że to proste. Pozwolić$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ jest miarą zbioru $D$. Wiemy$\mu (A)=0$ i $\mu (B)=b-a$. Całka Lebesgue'a:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ Dlatego $\int_{A} f(x)d\mu=0$( dlatego $f(x)=0$ prawie wszędzie) i $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Keen-ameteur Aug 16 2020 at 02:46

Możesz zrobić klasyczną sztuczkę definiowania kolekcji

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

a potem to pokaż $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Od$f$ jest mierzalny, ostateczny pożądany rezultat nastąpi, ponieważ w przeciwnym razie $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ gdzie $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Możesz to później zweryfikować $\mathcal{E}$ jest $\sigma$-algebra, więc jeśli to pokażesz $A\in \mathcal{E}$ dla każdego otwartego zestawu $A$, to nastąpi $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Wreszcie, ponieważ przedziały z racjonalnymi punktami końcowymi są policzalną podstawą topologii $\mathbb{R}$, dla każdego otwartego $A\subseteq \mathbb{R}$ istnieje zbiór interwałów z racjonalnymi punktami końcowymi, $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ takie że $A=\cup (a_k,b_k)$. Używając DCT, masz to$\int_A f =0$.