konwergencja w dystrybucji $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Dec 14 2020

Zdefiniuj kolejność dystrybucji $u_n$.

Pozwolić $u_n\to u$ w $D'(X)$ i załóżmy, że mamy sekwencję $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ takie że $\varphi_n\to \varphi $ w $C_c^\infty(X)$.

Czy możemy pokazać $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Wiem, że możemy to pokazać $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ dla każdego $\phi\in C_c^\infty(X)$,i $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ dla każdego $n$Jak połączyć je razem?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

Ale nie dokładnie dwie takie same zmienne?

Odpowiedzi

3 m.s Dec 14 2020 at 17:23

zakładam, że $X$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$. Dla każdego kompaktowego podzbioru$K$ z $X$, pozwolić $C_K^{\infty}(X)$ oznaczają przestrzeń Frecheta wszystkich $f \in C_c^{\infty}(X)$ takie że $\text{supp}(f) \subset K$.

Nietrywialne twierdzenie o zbieżności w topologii ścisłej granicy indukcyjnej $C_c^{\infty}(X)$ oznacza, że ​​musi istnieć $n_0 \geq1$ i zwarty podzbiór $K \subset X$ tak, że każdy $\varphi_n$ z $n \geq n_0$ i $\varphi$ należy do $C_{K}^{\infty}(X)$ i to $\varphi_n \rightarrow \varphi$w tej przestrzeni. Mapa ograniczeń$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ jest ciągła dla topologii słabej gwiazdy, a tym samym sekwencji ograniczonych dystrybucji $u_n|_{C_K^{\infty}}$ zbiega się z ograniczoną dystrybucją $u|_{C_K^{\infty}}$ w topologii słabej gwiazdy $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

W ten sposób ograniczyliśmy nasz problem do udowodnienia tego w każdej przestrzeni Frecheta $V$, dla każdej zbieżnej sekwencji wektorów $\varphi_n \rightarrow \varphi$ oraz zbieżna sekwencja ciągłych funkcjonałów liniowych ze słabą gwiazdą $\ell_n \rightarrow \ell$, mamy $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ w $\mathbb{C}$, tak jak $n \rightarrow \infty$.

Wystarczy w tym przypadku udowodnić to przez dalszą łatwą redukcję $\varphi=0$ i $\ell = 0$.

To z kolei wynika z zasady jednolitej ograniczoności w przestrzeniach Frecheta, jak wyjaśniono w tej odpowiedzi . To twierdzenie implikuje, że rodzina$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ jest automatycznie równo-ciągła, co oznacza, że ​​podana jest dowolna $\varepsilon >0$, jest $U \subset X$ otwarty, $0\in U$, więc to dla wszystkich $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ mamy $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Tak biorąc$\varepsilon$, najpierw wybierz takie $U$ a następnie weź $n$ wystarczająco duże, aby $\varphi_n \in U$.