Modułowość serii Ramanujan-Sato

Question

Seria Ramanujan-Sato $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ poziomu 1 uogólnia formułę Ramanujana na $\frac1\pi$, gdzie $q=e^{2\pi i\tau}$. Tutaj,$j$ jest Klein $j$-invariant i $E_k$to seria Eisensteina. Ze względu na pierwiastki kwadratowe nie wydaje się od razu być funkcją modułową dla podgrupy kongruencji$SL(2,\mathbb Z)$. Jednak, jak to odnosi się do Klein$j$-invariant wg $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ wydaje się spełniać modularne równanie wielomianowe w $j$ stopnia $2$, sugerując, że $j^*$ jest modułowy dla indeksu 2 podgrupy $SL(2,\mathbb Z)$. Czy to prawda? A jaka byłaby grupa niezmienników?

Wszelkie zalecenia dotyczące literatury byłyby bardzo pomocne, wielkie dzięki!

Answer 1

To jest $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ Więc patrzymy na modułowość $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$

$j(\tau)-1728$ jest holomorficzna niezerowa na $e^{2i\pi /3}$ podczas $j(\tau)$ ma zero rzędu $3$ (nie $6$!!!) w $e^{2i\pi /3}$, więc $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ i stąd $j^*(\tau)$ mieć punkt rozgałęzienia w $e^{2i\pi/3}$, nie są modułowe.

Są jednak automorficzne na podwójnym pokryciu krzywej modułowej.

Zauważ, że $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ jest holomorficzny, ponieważ jedyne zera $j(\tau)-1728$ są podwójne w $SL_2(\Bbb{Z})i$. To jest$2$-okresowe i $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ gdzie $\chi$ to charakter $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ określony przez $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ przez które czynniki $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$, w rzeczywistości $\ker(\chi)$ to macierze, których redukcja $\bmod 2$ jest $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$.