Objętość derywacji pryzmatu

Question

Zastanawiałem się, czy istnieje sposób, aby sformalizować sposób uzasadnienia wzoru na objętość pryzmatu.

Dla danego graniastosłupa jego objętość jest określona przez pole jego przekroju pomnożone przez długość pryzmatu.

Widzę to intuicyjnie, ponieważ można sobie wyobrazić, że pryzmat jest wykonany z nieskończenie wielu małych kawałków przekroju poprzecznego na całej jego długości.

Zastanawiam się jednak, czy istnieje sposób, aby to sformalizować?

Ponadto mówi się , że cylinder nie jest pryzmatem . Jednak wzór na jego objętość ($\pi r^2 \times h$) to identyczna powierzchnia przekroju pomnożona przez długość. Czy jest jakiś powód?

Answer 1

1. Przekonaj się, że objętość pudełka z bokami $a,b,c$ jest $abc$.
2. Następnie pomyśl o kwadratowym rozmiarze $1$ i obszar $1 \cdot 1$ przekształcić się w pudełko, rozciągając je na wysokość $h$. Wynikowe pudełko powinno mieć objętość$1\cdot 1 \cdot h$, używając (1) powyżej.
3. Teraz pomyśl o przeskalowaniu oryginalnego kwadratu, aby pasował do podstawy pryzmatu. Musisz skalować w taki sposób, aby powstał wynikowy obszar$A$, czyli obszar podstawy. To skaluje się o współczynnik$A$, a zatem wynikowa objętość powinna być skalowana według tego samego współczynnika, ponieważ wysokość jest taka sama. Więc ostateczna objętość jest$A\cdot h$.