Ograniczony do wartości pojedynczej

Question

Pozwolić $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$być macierzą antysymetryczną. Czy istnieje dolna / górna granica lub równość odnosząca się do dwóch wielkości$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ Prawa strona to kwadrat najmniejszej wartości pojedynczej $A$. Zauważ też to$u^* A u$ musi być czysto urojoną chwilą $u^* A^T A u$ musi być prawdziwy.

Rzeczywiście, poniższy komentarz Stephena pokazuje, że lewa strona wynosi zero. A co z macierzami ogólnymi$A$niekoniecznie antysymetryczne?

Answer 1

Dzięki Stephenowi za wskazanie na nierówność Cauchy'ego-Scharza: mamy $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ dla wektora normalnego $u$ i prawdziwą macierz $A$, W związku z tym $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ dla każdej prawdziwej matrycy $A$. Po lewej stronie jest zero dla antysymetrii$A$.