Pozytywność operatora

Question

Rozważ funkcję $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ klasy $C^1$. Jeśli$f(0)=0$ i $f'(0)>0$ jasne jest, że istnieją $t_0>0$ takie że $f(t_0)>0$.

Teraz jeśli $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ klasy $C^1$, gdzie $\mathcal{M}^{n\times n}$ są prawdziwe $n\times n$ macierze, jeśli $f(0)=0$ i jeśli $f'(0)$ jest macierzą ściśle zdefiniowaną dodatnio, znowu będzie $t_0$ takie że $f(t_0)$ jest macierzą ściśle określoną pozytywnie.

Pytanie brzmi, czy to prawda nawet dla operatorów? W szczególności niech$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ klasy $C^1$, gdzie $\mathcal{O}$ jest zbiorem zwartych operatorów samosprzężonych na pewnej rozdzielnej przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$. Pozwolić$f(0)=0$ i przypuśćmy, że $f'(0)$ jest zwartym dodatnim operatorem samosprzężonym, czy to prawda, że ​​musi istnieć $t_0$ takie że $f(t_0)$ jest pozytywna?

Answer 1

Nie. Kontrprzykład: niech $H = \ell^2$ i $M : H \to H$ być podane przez

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

Następnie $M$jest zwarty (granice operatorów rang skończonych), samosprzężony i dodatni. Dalej niech$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ być gładką dziwną funkcją, więc

• $\varphi(t) = t$ na $[-1,1]$,
• $|\varphi (t)|\le 1.1$
• $\varphi$ maleje $[1.1, 2]$ i
• $ \varphi(t) = 0$ na $[2, \infty)$.

Dla każdego $n$, definiować $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Definiować$ M_t:=f(t)$ przez $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

Następnie $M_0 = 0$ i każdy $M_t$jest samosprzężoną, skończoną rangą (a więc niedodatnią). Również,$f$ jest $C^1$. Rzeczywiście można to sprawdzić$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ Od $\varphi_n'(0)=1$ dla wszystkich $n$, mamy $f'(0) = M$.