Problem kombinatoryki i interpretacja prawdopodobieństwa
Dla zmiennej wektora gaussa $w\sim N(0,I_{n\times n})$, momenty normy kwadratowej są $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.
W oparciu o twierdzenie Isserlisa ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ można również ocenić jako $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ gdzie $\mathcal{P}([r])$ oznacza wszystkie partycje w zestawie $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ jest przegrodą, $p$ to jeden blok w partycji, $|\pi|$ i $|p|$ to liczba bloków i liczba elementów w bloku.
Rozważmy teraz wariant powyższego problemu. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ Powyższy wzór różni się tylko współczynnikiem od momentów normy kwadratowej zmiennej wektora gaussa $\frac{1}{2}$. Czy istnieje podobne rozwiązanie iloczynu skończonego i interpretacja prawdopodobieństwa dla powyższego wzoru?
Odpowiedzi
Naprawić $n$. Pozwolić$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Pozwolić $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Zgodnie ze wzorem kompozycji (Twierdzenie 5.1.4 o kombinatoryce wyliczeniowej , tom 2), żądana liczba to$r!$ razy współczynnik $x^r$ w $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Możesz to rozwinąć za pomocą twierdzenia dwumianowego, a następnie rozwinąć każdy wyraz w szereg potęgowy, aby otrzymać wzór na swoją liczbę jako sumę z $n$ warunki.