Seria Taylora $\frac{x}{e^x-e^{-x}}$

Question

Mój podręcznik mówi, że (kiedy $x$ podejścia $0$): $$\frac{x}{e^x-e^{-x}}=\frac{1}{2}-\frac{x^2}{12}+\cdots$$

Mówi się również, że wynik można wywnioskować za pomocą $e^x=1+x+x^2/2+\cdots$.

Ale kiedy podam to bezpośrednio: $$\begin{aligned}\frac{x}{e^x-e^{-x}}&=\frac{x}{(1+x+x^2/2+x^3/6\cdots)-(1-x+x^2/2-x^3/6+\cdots)}\\&=\frac{x}{2x+x^3/3+\cdots}\end{aligned}$$

Nie mogę uzyskać odpowiedniego rozszerzenia. Więc jakie jest właściwe podejście?

Answer 1

Byłeś na dobrej drodze, mogłeś to zrobić $$\frac{x}{2x+x^3/3+o(x^3)}\\=\frac1{2+x^2/3+o(x^2)}\\=\frac12\frac1{1-(-x^2/6)}+o(x^2)\\=\frac12\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x^2)^n}{6^n} + o(x^2) \\= \frac12-\frac{x^2}{12}+o(x^2). $$

---

Pytanie z komentarzy w trzeciej linijce: wynika z tożsamości

$$\left|\frac{1}{A+h} - \frac{1}A \right|= \frac{|h|}{|A||A+h|} $$ Mamy tutaj $A=2+x^2/3\ge 2$. Gdyby$h$ jest mały, powiedzmy $|h|<1$, następnie $|A+h|\ge |A|-|h|\ge 1$. A zatem$$ \left|\frac{1}{A+h} - \frac{1}A \right|\le |h|\times \frac12\times \frac11.$$ W konsekwencji, $$ \frac{1}{A+h} = \frac{1}A + O(h). $$

Answer 2

Inny sposób: $$\begin{split}\frac{x}{e^x-e^{-x}} &= e^{-x}\frac{x}{1-e^{-2x}} \\ &= e^{-x}\frac{x}{2x-2x^2+4x^3/3+O(x^4)}\\&=e^{-x}\frac{1}{2}\frac{1}{1-(x-2x^2/3+O(x^3))} \\&=\frac12\left(1-x+\frac 12x^2+O(x^3)\right)\left(1+\left(x-\frac23x^2\right)+\left(x-\frac23 x^2\right)^2+O(x^3)\right)\\&=\frac12\left(1-x+\frac 12x^2+O(x^3)\right)\left(1+x+\frac13x^2+O(x^3)\right)\\&=\frac12-\frac1{12}x^2+O(x^3).\end{split}$$ Tutaj użyliśmy rozszerzenia $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots.$$