İstatistik - Aralık Tahmini

Aralık tahmini, tek bir sayı olan nokta tahminin aksine, bilinmeyen bir popülasyon parametresinin olası (veya olası) değerlerinin bir aralığını hesaplamak için örnek verilerin kullanılmasıdır.

Formül

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Nerede -

$ {\ bar x} $ = ortalama
$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = güven katsayısı
$ {\ alpha} $ = güven seviyesi
$ {\ sigma} $ = standart sapma
$ {n} $ = örnek boyutu

Misal

Problem Statement:

Belirli bir sıvının kaynama sıcaklığını ölçen bir öğrencinin sıvının 6 farklı örneğinde 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5 ve 102.2 ölçümlerini (Santigrat derece olarak) gözlemlediğini varsayalım. Örnek ortalamayı 101,82 olarak hesaplar. Bu prosedür için standart sapmanın 1,2 derece olduğunu biliyorsa,% 95 güven seviyesinde popülasyon ortalaması için aralık tahmini nedir?

Solution:

Öğrenci, $ {\ sigma = 0.49} $ standart sapma ile kaynama sıcaklıklarının örnek ortalamasını 101.82 olarak hesapladı. % 95 güven aralığı için kritik değer 1,96'dır; burada $ {\ frac {1-0.95} {2} = 0.025} $. Bilinmeyen ortalama için% 95 güven aralığı.

$ {= ((101.82 - (1.96 \ times 0.49)), (101.82 + (1.96 \ times 0.49))) \\ [7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\ [7pt] \ = ( 100,86; 102,78)} ABD doları

Güven seviyesi azaldıkça, karşılık gelen aralığın boyutu azalacaktır. Öğrencinin kaynama sıcaklığı için% 90 güven aralığı ile ilgilendiğini varsayalım. Bu durumda, $ {\ sigma = 0.90} $ ve $ {\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $. Bu seviye için kritik değer 1.645'e eşittir, bu nedenle% 90 güven aralığı

$ {= ((101,82 - (1,645 \ kere 0,49)), (101,82 + (1,645 \ kere 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101.01, 102.63)} $

Örnek boyutundaki bir artış, güven düzeyini düşürmeden güven aralığının uzunluğunu azaltacaktır. Bunun nedeni, n arttıkça standart sapmanın azalmasıdır.

Hata Payı

Aralık tahmininin $ {m} $ hata payı, aralığın uzunluğunu belirleyen örnek ortalamasından eklenen veya çıkarılan değer olarak tanımlanır:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Yukarıdaki örnekte, öğrencinin% 95 güvenle 0,5'e eşit bir hata payına sahip olmak istediğini varsayalım. Uygun değerleri $ {m} $ ifadesine koymak ve n için çözmek hesaplamayı verir.

$ {n = {(1.96 \ times \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

Toplam uzunluğu 1 dereceden az olan ortalama kaynama noktası için% 95 aralık tahminine ulaşmak için, öğrencinin 23 ölçüm alması gerekecektir.