İstatistik - Olasılık Çarpımlı Teoremi

Bağımsız Etkinlikler için

Teorem, bağımsız olan iki olayın aynı anda meydana gelme olasılığının, onların bireysel olasılıklarının çarpımı tarafından verildiğini belirtir.

$ {P (A \ ve \ B) = P (A) \ times P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ times P (B)} $

Teorem aynı zamanda üç veya daha fazla bağımsız olaya genişletilebilir.

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) P (A, B \ ve \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C)} $

Misal

Problem Statement:

Bir kolej, B.Com., MBA ve Ph. D olması gereken bir öğretim görevlisi atamalıdır; bunun olasılığı $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} Sırasıyla} $ ve $ {\ frac {1} {40}} $. Böyle bir kişinin kolej tarafından atanma olasılığını bulun.

Solution:

Bir kişinin B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $ olma olasılığı

Bir kişinin MBA P (B) olma olasılığı = $ {\ frac {1} {25}} $

Bir kişinin Ph.DP (C) olma olasılığı = $ {\ frac {1} {40}} $

Bağımsız olaylar için çarpımsal teoremi kullanma

$ {P (A, B \ ve \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ times \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Bağımlı Olaylar için (Koşullu Olasılık)

Daha önce tanımlandığı gibi, bağımlı olaylar, bir olayın meydana gelmesi veya gerçekleşmemesi, sonraki olayın sonucunu etkiler. Bu tür olaylar için daha önce belirtilen çarpım teoremi geçerli değildir. Bu tür olaylarla ilişkili olasılığa koşullu olasılık denir ve

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ veya $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

B olayı zaten gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı olarak P (A / B) yi okuyun.

Benzer şekilde, A verildiğinde B'nin koşullu olasılığı şöyledir:

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ veya $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Misal

Problem Statement:

Bir jeton 2 kez atılır. Atış, bir kafa ve bir kuyrukla sonuçlandı. İlk atışın bir kuyrukla sonuçlanma olasılığı nedir?

Solution:

İki kez atılan bir bozuk paranın örnek uzayı S = {HH, HT, TH, TT} olarak verilmiştir.

A Olayı bir kuyrukla sonuçlanan ilk atış olsun.

Olay B, bir kuyruk ve bir kafa oluşması olabilir.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Yani \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $