İstatistik - Olasılık Katkı Teoremi

Karşılıklı Ayrıcalıklı Etkinlikler için

Olasılık durumlarının toplamsal teoremi, eğer A ve B birbirini dışlayan iki olay ise, A veya B'nin olasılığı şu şekilde verilir

$ {P (A \ veya \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

Teorem, birbirini dışlayan üç olaya da genişletebilir.

$ {P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Misal

Problem Statement:

52'lik bir desteden bir kart çekilir, bunun bir papaz veya vezir olma olasılığı nedir?

Solution:

Let Event (A) = Şah kartının çekilişi

Etkinlik (B) Vezir kartının çekilmesi

P (kart çekilişi kral veya kızdır) = P (kart kraldır) + P (kart kızdır)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Karşılıklı Olmayan Olaylar İçin

Her iki olayın da meydana gelme olasılığı varsa, o zaman toplam teoremi şu şekilde yazılır:

$ {P (A \ veya \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ ve \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Misal

Problem Statement:

Bir atıcının 7 atıştan 3'ünde bir hedefi vurduğu bilinmektedir; başka bir atıcının 5 atıştan 2'sinde hedefi vurduğu biliniyor. İkisi de denediğinde hedefin vurulma olasılığını bulun.

Solution:

İlk atıcının hedefi vurma olasılığı P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

İkinci atıcının hedefi vurma olasılığı P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Her iki atıcı da hedefi vurabileceğinden A ve B yarışması birbirini dışlamaz. Dolayısıyla, geçerli olan katkı kuralı

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $