İstatistikler - Basıklık

Bir dağılımın kuyruklu olma derecesi basıklık ile ölçülür. Bize dağılımın normal dağılıma göre ne kadar aykırı değerlere (daha ağır veya hafif kuyruklu) olduğunu söyler. Investopedia'nın sağladığı üç farklı eğri türü aşağıdaki gibi gösterilmektedir -

Yoğunluk grafiklerinden (sol panel) farklı basıklık türlerini ayırt etmek zordur çünkü tüm dağılımlar için kuyruklar sıfıra yakındır. Ancak kuyruklardaki farklılıkları normal kuantil-kuantil grafiklerde görmek kolaydır (sağ panel).

Normal eğri Mesokurtik eğri olarak adlandırılır. Bir dağılımın eğrisi, normal veya mezokurtik bir eğriden daha aykırı değer eğilimli (veya daha ağır kuyruklu) ise, o zaman Leptokurtik eğri olarak adlandırılır. Bir eğri, normal bir eğriden daha az aykırı eğilimli (veya daha açık kuyruklu) ise, buna platikurtik eğri denir. Basıklık anlarla ölçülür ve aşağıdaki formülle verilir -

Formül

$ {\ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {\ mu_2}} $

Nerede -

$ {\ mu_4 = \ frac {\ toplamı (x- \ bar x) ^ 4} {N}} $

\ Beta_2 değeri ne kadar büyükse eğri o kadar fazla sivri veya leptokurtiktir. Normal bir eğrinin değeri 3, bir leptokurtik 3'ten büyük \ beta_2 ve platikurtik \ beta_2 3'ten küçüktür.

Misal

Problem Statement:

Bir fabrikanın 45 işçisinin günlük ücretlerine ilişkin veriler verilmiştir. Ortalama ile ilgili anı kullanarak \ beta_1 ve \ beta_2 hesaplayın. Sonuçlar hakkında yorum yapın.

Ücretler (Rs.)	Çalışan sayısı
100-200	1
120-200	2
140-200	6
160-200	20
180-200	11
200-200	3
220-200	2

Solution:

Ücretler (Rs.)	İşçi Sayısı (f)	Orta nokta m	m - $ {\ frac {170} {20}} $ d	$ {fd} $	$ {fd ^ 2} $	$ {fd ^ 3} $	$ {fd ^ 4} $
100-200	1	110	-3	-3	9	-27	81
120-200	2	130	-2	-4	8	-16	32
140-200	6	150	-1	-6	6	-6	6
160-200	20	170	0	0	0	0	0
180-200	11	190	1	11	11	11	11
200-200	3	210	2	6	12	24	48
220-200	2	230	3	6	18	54	162
	$ {N = 45} $			$ {\ toplam fd = 10} $	$ {\ toplamı fd ^ 2 = 64} $	$ {\ toplamı fd ^ 3 = 40} $	$ {\ toplamı fd ^ 4 = 330} $

Sapmalar varsayılan bir ortalamadan alındığından, bu nedenle önce keyfi kökenle ilgili momentleri ve sonra ortalama ile ilgili momentleri hesaplıyoruz. Keyfi köken '170' ile ilgili anlar

$ {\ mu_1 ^ 1 = \ frac {\ sum fd} {N} \ times i = \ frac {10} {45} \ times 20 = 4.44 \\ [7pt] \ mu_2 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 2 = \ frac {64} {45} \ times 20 ^ 2 = 568.88 \\ [7pt] \ mu_3 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 3 = \ frac {40} {45} \ times 20 ^ 3 = 7111.11 \\ [7pt] \ mu_4 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 4} {N} \ times i ^ 4 = \ frac {330} {45} \ times 20 ^ 4 = 1173333.33} $

Ortalama hakkında anlar

$ {\ mu_2 = \ mu'_2 - (\ mu'_1) ^ 2 = 568.88- (4.44) ^ 2 = 549.16 \\ [7pt] \ mu_3 = \ mu'_3 - 3 (\ mu'_1) (\ mu'_2) + 2 (\ mu'_1) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111.11 - (4.44) (568.88) + 2 (4.44) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111.11 - 7577.48 + 175.05 = - 291.32 \\ [7pt] \\ [7pt] \ mu_4 = \ mu'_4 - 4 (\ mu'_1) (\ mu'_3) + 6 (\ mu_1) ^ 2 (\ mu'_2) -3 (\ mu'_1) ^ 4 \\ [7pt] \, = 1173333.33 - 4 (4.44) (7111.11) +6 (4.44) ^ 2 (568.88) - 3 (4.44) ^ 4 \\ [7pt] \, = 1173333.33 - 126293.31 + 67288.03-1165.87 \\ [7pt] \, = 1113162.18} $

Ortalama hareketin değerinden, şimdi $ {\ beta_1} $ ve $ {\ beta_2} $ hesaplayabiliriz:

$ {\ beta_1 = \ mu ^ 2_3 = \ frac {(- 291.32) ^ 2} {(549.16) ^ 3} = 0.00051 \\ [7pt] \ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {(\ mu_2) ^ 2 } = \ frac {1113162.18} {(546.16) ^ 2} = 3.69} $

Yukarıdaki hesaplamalardan, çarpıklığı ölçen $ {\ beta_1} $ değerinin neredeyse sıfır olduğu ve dolayısıyla dağılımın neredeyse simetrik olduğunu gösterdiği sonucuna varılabilir. $ {\ beta_2} $ Basıklığı ölçen, 3'ten büyük bir değere sahip, dolayısıyla dağılımın leptokurtik olduğunu ima ediyor.