Questo è il quarto articolo di una serie sugli effetti causali . Nell'ultimo articolo di questa serie, abbiamo esplorato la questione dell'identificabilità . In altre parole, l'effetto causale può essere valutato dai dati forniti? Lì abbiamo visto un processo sistematico in 3 fasi per esprimere qualsiasi effetto causale dato un modello causale in cui vengono osservate tutte le variabili. Il problema, tuttavia, diventa molto più interessante quando abbiamo fattori confondenti non misurati . In questo articolo, discuto due criteri grafici facili e veloci per valutare gli effetti causali.

Identificabilità

L'identificabilità è una questione centrale nell'analisi causale, cioè l'effetto causale può essere valutato dai dati forniti? Nel blog precedente , abbiamo visto un processo sistematico in 3 passaggi per rispondere a questa domanda per i cosiddetti modelli causali markoviani . Questi modelli causali soddisfano due condizioni: 1) nessun ciclo e 2) nessun termine di rumore non misurato che causa simultaneamente due o più variabili. Questo tipo di modello può essere rappresentato da un grafo ciclico orientato , cioè un DAG . Di seguito sono riportati esempi di DAG markoviani e non markoviani.

La condizione di Markov è importante perché garantisce l'identificabilità. In altre parole, se il nostro modello causale è markoviano, allora l'effetto causale è sempre identificabile [ 1 , 2 ]. Sebbene questa sia un'intuizione potente, è anche restrittiva perché potremmo essere interessati a modelli causali che non sono markoviani.

Ad esempio, un modello markoviano potrebbe diventare non markoviano se è presente un fattore di confusione non misurato. Ne abbiamo visto un esempio nel blog precedente . Lo stesso esempio è mostrato nella figura sottostante.

Iniziamo con il modello markoviano all'estrema sinistra. Supponiamo quindi che Jimmy abbia dimenticato di accendere il sensore Z2, quindi non abbiamo osservazioni per la variabile Z2. Questa situazione è rappresentata dal modello al centro. Qui abbiamo una variabile non osservata (Z2) con due figli (Z3 e Y).

Possiamo rappresentare questa situazione in modo equivalente rimuovendo la variabile non osservata dal DAG e connettendo i suoi due nodi figli con un arco bidirezionale [ 1 ]. Intuitivamente, il bordo bidirezionale rappresenta la dipendenza statistica tra Z3 e Y tramite Z2, ma senza osservazioni di Z2, questo apparirà come un'associazione spuria tra i due nei nostri dati.

Si noti che i due modelli causali più a destra non sono markoviani. Quello centrale ha un termine di rumore non misurato che causa contemporaneamente due variabili, e quello all'estrema destra ha un ciclo. Sebbene questi modelli non siano markoviani, l'effetto causale di X su Y è effettivamente identificabile (ne parleremo più avanti).

3 Regole del Do-Calcolo

Nel caso generale, la questione dell'identificabilità può sempre essere risolta utilizzando le Regole del Do-Calcolo [ 3 , 4 ]. Queste sono 3 regole che possiamo usare per manipolare le distribuzioni interventistiche , in altre parole, esprimere probabilità che includono l'operatore do in termini di probabilità che non includono l'operatore do.

Un punto chiave è che questo insieme di regole è completo , il che significa che se l'identificabilità non può essere stabilita con queste 3 regole, allora l'effetto causale non è identificabile .

Regole di Do-Calculus — Dato che X, Y, Z e W sono insiemi arbitrari disgiunti di variabili in un modello causale G, le regole di Do-Calculus sono fornite di seguito.

Sebbene queste regole siano concise e complete, c'è molto da masticare qui. Ad esempio, osservando la regola 1, possiamo ignorare l'insieme delle variabili W solo se Y e Z sono condizionatamente indipendenti nel grafico ottenuto eliminando tutte le frecce in arrivo ai nodi in X.

Senza una forte intuizione per queste regole e concetti associati, applicarle ai problemi può essere lento e impegnativo. È qui che possono aiutare due test rapidi e facili per l'identificabilità.

2 Criteri grafici facili e veloci

Sebbene le Regole del Do-Calculus ci forniscano una serie completa di operazioni per valutare gli effetti causali, utilizzarle nella pratica può essere difficile per DAG complicati. Per aiutare con questa difficoltà, possiamo rivolgerci a 2 pratici criteri grafici per valutare l'identificabilità: il criterio della porta sul retro (BDC) e il criterio della porta d'ingresso (FDC).

A differenza delle regole del do-calculus, questi criteri non sono completi. Ciò significa che anche se non sono soddisfatti, l'effetto causale può essere ancora identificabile. La loro utilità fondamentale, tuttavia, è che servono come test pratici che possiamo prontamente applicare per rispondere a domande causali prima di ricorrere alle Regole del Do-Calcolo.

1) Criterio della porta sul retro

Il Back Door Criterion (BDC) è un test relativamente rapido e semplice per valutare se un insieme di nodi è sufficiente per rispondere alla domanda di identificabilità. In altre parole, ci dice quali variabili dobbiamo misurare per calcolare un particolare effetto causale.

Prima di definire il BDC, dobbiamo prima armarci di due concetti chiave: un percorso back-door e un blocco.

Un percorso back-door tra 2 nodi (diciamo X e Y) è qualsiasi percorso che inizia con una freccia che punta in X e termina in Y [ 3 ]. Ad esempio, questi sono tutti i percorsi back door nel grafico sottostante.

• X <- Z1 -> Z3 -> Y
• X <- Z1 -> Z3 <- Z2 -> Y
• X <- Z3 -> Y
• X <- Z3 <- Z2 -> Y

Il secondo concetto chiave qui è quello di blocco [ 3 ]. Un cammino p si dice bloccato da un insieme di nodi {Z_i} se e solo se,

1. p contiene una catena A -> B -> C o un fork A <- B -> C, tale che B è un elemento in {Z_i} — Questo è ciò che potremmo pensare intuitivamente come blocco
2. p contiene un collider (cioè un fork invertito) A -> B <- C, tale che B e qualsiasi suo discendente non siano in {Z_i} — Nessun nodo in {Z_i} crea un'associazione statistica spuria (paradosso di Berkson)

Criterio Back Door — Un insieme di nodi {Z_i} soddisfa il BDC relativo a (X, Y) se,

1. Nessun nodo è un discendente di X (cioè {Z_i} si trova esclusivamente nei percorsi back-door)
2. {Z_i} blocca ogni percorso di backdoor tra X e Y

• {Z1, Z3}
• {Z2, Z3}
• {Z1, Z2, Z3}

Gli insiemi {Z1, Z3}, {Z2, Z3} e {Z1, Z2, Z3} sono chiamati insiemi sufficienti (anche insiemi ammissibili). Ci dicono quali variabili misurare per calcolare effetti causali imparziali tra X e Y. Possiamo esprimere la distribuzione interventistica utilizzando la seguente equazione ogni volta che il BDC è soddisfatto.

Nota sui metodi del punteggio di propensione

Un punto chiave che collega il criterio della porta di servizio ai metodi del punteggio di propensione (PS) che abbiamo visto in un blog precedente è che i metodi del punteggio di propensione falliscono quando il criterio della porta di servizio non è soddisfatto [ 2 ]. In altre parole, se le variabili utilizzate per derivare un punteggio di propensione non costituiscono un insieme sufficiente, possono introdurre errori nella stima dell'effetto causale.

Sebbene si possa (ingenuamente) pensare che più variabili vengono utilizzate nel modello PS, meglio è, questo può ritorcersi contro [ 5 ]. In alcuni casi, come con la variabile Z3 nel DAG di cui sopra, l'inclusione di variabili particolari può aumentare il bias di corrispondenza del punteggio di propensione [ 2 ].

2) Criterio della porta d'ingresso

Un altro test facile e veloce che possiamo usare per valutare l'identificabilità è il criterio della porta d'ingresso (FDC) [ 3 ]. Un insieme di nodi {Z_i} soddisfa la FDC relativa a (X, Y) if

1. {Z_i} intercetta tutti i percorsi diretti da X a Y
2. Tutti i percorsi backdoor da X a {Z_i} sono bloccati dall'insieme vuoto
3. Tutti i percorsi backdoor da {Z_i} a Y sono bloccati da X

Possiamo prima cercare un insieme di variabili che soddisfi la condizione 1 . Per fare ciò, enumeriamo tutti i percorsi diretti da X e Y. In questo caso, ce ne sono solo 3.

• X -> Z1 -> Y
• X -> Z2 -> Y
• X -> Z2 -> Y

Per verificare la condizione 2, dobbiamo esaminare tutti i percorsi backdoor da X a ogni nodo in {Z1, Z2}.

X e Z1

• X <- Z3 -> Y <- Z1
• X <- Z5 -> Z3 -> Y <- Z1

• X <- Z3 -> Y <- Z2
• X <- Z5 -> Z3 -> Y <- Z2
• X <- Z5 -> Z3 -> Y <- Z4 <- Z2

Infine, controlliamo la condizione 3 osservando tutti i percorsi backdoor tra ogni variabile in {Z1, Z2} e Y.

Z1 e Y

• Z1 <- X <- Z3 -> Y
• Z1 <- X <- Z5 -> Z3 -> Y
• Z1 <- X -> Z2 -> Y
• Z1 <- X -> Z2 <- Z4 -> Y

• Z2 <- X <- Z3 -> Y
• Z2 <- X <- Z5 -> Z3 -> Y
• Z2 <- X -> Z1 -> Y

Notare che per ogni variabile in {Z_i}, sommiamo tutti i possibili valori della variabile X. Scrivendo le cose in modo un po' più esplicito per l'esempio precedente che abbiamo.

Punti chiave:

• L'identificabilità riguarda la risposta alla domanda: l'effetto causale può essere valutato dai dati forniti?
• Le 3 Regole del Do-Calcolo ci forniscono un set completo di operazioni per valutare l'identificabilità.
• Possiamo anche valutare l'identificabilità tramite due test grafici facili e veloci: il criterio della porta sul retro e il criterio della porta d'ingresso.

Risorse

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[ 1 ] Tian, ​​J., & Perla, J. (2002). Una condizione generale di identificazione per gli effetti causali. Atti del XVIII Convegno Nazionale sull'Intelligenza Artificiale . www.aaai.org

[ 2 ] Perla, J. (2010). The International Journal of Biostatistics: un'introduzione all'inferenza causale. The International Journal of Biostatistics , 6 (2), articolo 7.https://doi.org/10.2202/1557-4679.1203

[ 3 ] Tian, ​​J., & Shpitser, I. (nd). Sull'identificazione degli effetti causali .

[ 4 ] Perla, J. (2012). Il Do-Calcolo rivisitato. Atti della ventotto conferenza sull'incertezza nell'intelligenza artificiale , agosto , 4–11.http://arxiv.org/abs/1210.4852

[ 5 ] Perla, J. (2009). Mito, confusione e scienza nell'analisi causale .