Maksymalna wartość $4|\cos x|-3|\sin x|$ [duplikować]
Jak znajdę maksimum $4|\cos x|-3|\sin x|$
Wartość bezwzględna mnie dezorientuje, maksymalna wartość wynosiłaby 5, gdyby jej tam nie było.
Odpowiedzi
$a=|sin x|,b=|\cos x|$ gdzie $a,b\in[0,1]$ musimy maksymalizować $$4a-3b=4a-3\sqrt{1-a^2}=f(a)$$ ale $$f'(a)=4+\frac{3a}{\sqrt{1-a^2}}>0$$ W związku z tym $$f(a)\le f(1)=4$$
Maksymalna ekspresja nie może przekroczyć $4$, który jest uzyskiwany, gdy $4|\cos x|$ jest zmaksymalizowana i $3|\sin x|$ jest minimalizowany niezależnie.
W tym przypadku o godz $x=n\pi~(n\in\Bbb Z)$, zarówno maksymalizacja pierwszego członu, jak i minimalizacja drugiego członu zachodzą jednocześnie. Tak więc maksymalna wartość to rzeczywiście$4$.
$|\cos (x)| = 1$(wartość maksymalna) dla wszystkich $x = n\pi, n\in \Bbb Z$
Więc, $4|\cos (x)| = 4$ to maksymalna możliwa wartość pierwszego terminu.
$3|\sin x| \ge 0$. Więc potrzebujemy tego terminu$3|\sin x|$mieć najmniejszą możliwą wartość, ponieważ jest odejmowana od pierwszego członu, a ta wartość wynosi zero. To znowu ma miejsce o godz$x = n\pi, n\in \Bbb Z$.
Więc, $4|\cos x| - 3|\sin x|$osiąga maks. wartość$4-0 = 4$ w $x = n\pi, n\in \Bbb Z$.