Maksymalna wartość $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?
Więc natrafiłem na pytanie w moim podręczniku:
W trójkącie ABC, jeśli $A$,$B$,$C$ reprezentują kąty, a następnie znajdź maksymalną wartość $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?
Więc już próbowałem i najlepiej i włożyłem swoją krew, pot i łzy w to pytanie… Ale nie jestem w stanie rozwiązać go dalej!
Oto moje podejście: używając $\sin(C)+\sin(D)$ i $A+B+C= \pi$;
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Teraz używając $\cos(2A)$ formuła tj. $1-2\sin^2(A) $
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
- Więc otrzymałem kwadratową zmienną $\sin(\frac{A+B}{4})$
- $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$
Ale nie wiem, co robić później
Czy mogę rozwiązać to pytanie tą metodą, czy muszę zastosować inne podejście!
A tak przy okazji, odpowiedź brzmi 3/2
Edycja: Właśnie skończyłem liceum i przygotowuję się do egzaminu IIT-JEE, więc proszę nie używać trudnych terminów, aby rozwiązać to pytanie.
To rozwiązanie jest wysyłane przez mojego nauczyciela, przynajmniej pozwól mi to zrozumieć [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]
Odpowiedzi
Gdzie się zatrzymałeś, pozwól $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$
$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$
Tak jak $\sin x$ jest prawdziwy, osoba dyskryminująca musi być $\ge0$
$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$
$\implies8z\le4+8$
Równość występuje, jeśli $\cos^2y=1\iff\sin y=0$
i konsekwentnie $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$
Od $\sin x$jest wklęsły na ostrym$x$, według nierówności Jensena maksimum znajduje się na$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, tak jak $3\sin\pi/6=3/2$.
Edycja: skoro PO wspomniano w komentarzu do odpowiedzi @ B. Goddarda, że znają zróżnicowanie, oto kolejny dowód, że przypadek równoboczny osiąga maksimum:
Nadal używać $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Ekstemizować$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ jednocześnie rozwiązywać$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$mianowicie. $A=B=C$. Pozostawię czytelnikowi sprawdzenie, czy to maksimum, rozważając drugą pochodną.
Możesz to zrobić za pomocą mnożników Lagrange'a. Wyolbrzymiać$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ pod przymusem $g=x+y+z = \pi$.
Następnie
$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$
To pokazuje że $x=y=z$ a maksymalny trójkąt jest równoboczny.
W trójkącie ABC $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ A więc nierówność Jemsena $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$