Maksymalna wartość $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Dec 12 2020

Więc natrafiłem na pytanie w moim podręczniku:

W trójkącie ABC, jeśli $A$,$B$,$C$ reprezentują kąty, a następnie znajdź maksymalną wartość $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Więc już próbowałem i najlepiej i włożyłem swoją krew, pot i łzy w to pytanie… Ale nie jestem w stanie rozwiązać go dalej!

Oto moje podejście: używając $\sin(C)+\sin(D)$ i $A+B+C= \pi$;

  1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Teraz używając $\cos(2A)$ formuła tj. $1-2\sin^2(A) $
  2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
  3. Więc otrzymałem kwadratową zmienną $\sin(\frac{A+B}{4})$
  4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Ale nie wiem, co robić później

Czy mogę rozwiązać to pytanie tą metodą, czy muszę zastosować inne podejście!

A tak przy okazji, odpowiedź brzmi 3/2

Edycja: Właśnie skończyłem liceum i przygotowuję się do egzaminu IIT-JEE, więc proszę nie używać trudnych terminów, aby rozwiązać to pytanie.

To rozwiązanie jest wysyłane przez mojego nauczyciela, przynajmniej pozwól mi to zrozumieć [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Odpowiedzi

1 labbhattacharjee Dec 12 2020 at 01:19

Gdzie się zatrzymałeś, pozwól $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Tak jak $\sin x$ jest prawdziwy, osoba dyskryminująca musi być $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

Równość występuje, jeśli $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

i konsekwentnie $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

4 J.G. Dec 12 2020 at 00:16

Od $\sin x$jest wklęsły na ostrym$x$, według nierówności Jensena maksimum znajduje się na$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, tak jak $3\sin\pi/6=3/2$.

Edycja: skoro PO wspomniano w komentarzu do odpowiedzi @ B. Goddarda, że ​​znają zróżnicowanie, oto kolejny dowód, że przypadek równoboczny osiąga maksimum:

Nadal używać $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Ekstemizować$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ jednocześnie rozwiązywać$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$mianowicie. $A=B=C$. Pozostawię czytelnikowi sprawdzenie, czy to maksimum, rozważając drugą pochodną.

1 B.Goddard Dec 12 2020 at 00:23

Możesz to zrobić za pomocą mnożników Lagrange'a. Wyolbrzymiać$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ pod przymusem $g=x+y+z = \pi$.

Następnie

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

To pokazuje że $x=y=z$ a maksymalny trójkąt jest równoboczny.

ZAhmed Dec 12 2020 at 00:34

W trójkącie ABC $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ A więc nierówność Jemsena $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$