Équations de Cauchy-Riemann

Objectif de cet article : Montrer le contraste du concept de dérivabilité pour les fonctions réelles et à valeurs complexes.

Connaissances supposées : calcul de base, propriétés des nombres complexes.

Dérivabilité réelle

Définition : Une fonction f est différentiable en x si la limite suivante existe,

Quand une limite n'existe-t-elle pas ?

• Lorsque la limite venant de la droite n'est pas égale à la limite venant de la gauche (RHL =/= LHL) ou,
• Lorsqu'il y a une asymptote verticale (c'est-à-dire que la limite est infinie et que la tangente du graphique a une pente infinie)

• Lorsque les limites de la main droite et de la main gauche ne sont pas égales : cela signifie que la fonction n'est pas continue ou que son graphique a des angles vifs.
• Lorsque la limite est infinie ou que la pente de la tangente en ce point est infinie, cela signifie qu'il y a une ligne verticale dans le graphique ou qu'il a une asymptote verticale.

• non continue ,
• a des arêtes vives
• son graphique est constitué d'une ligne verticale (ou a une asymptote verticale),

La dérivabilité implique la continuité . Mais, l'inverse n'est pas vrai. Continuité n'implique pas différentiabilité . Par conséquent, la continuité d'une fonction est une condition nécessaire à la dérivabilité, mais ce n'est pas une condition suffisante.

Maintenant, tout ce qui précède concerne les fonctions d' une variable. Qu'en est-il de la dérivabilité des fonctions à plusieurs variables ? Ce concept fait partie du calcul multivariable et les fonctions ici sont dites « réelles » différentiables.

Dans le calcul multivariable, la continuité des dérivées partielles implique la dérivabilité . Donc, essentiellement, si une fonction est dite réelle différentiable , alors ses dérivées partielles existent et elle est continue. (Il s'agit d'une simplification massive de toutes les preuves et théorèmes du calcul multivariable qui conduisent finalement à ce résultat, mais nous y reviendrons dans un prochain article.)

Dérivabilité complexe

Définition : Soit Ω un ouvert du plan complexe ( C ) et soit z un point complexe du domaine Ω. On dit qu'une fonction f : Ω → C est complexe différentiable en z si la limite suivante existe,

On note la limite f '(z) et on l'appelle la dérivée de f en z.

Dans le calcul multivariable, la dérivée d'une fonction réelle est une application linéaire de R ^n à R ^k. Dans ce cas, chaque point est constitué d'une partie réelle et imaginaire ce qui signifierait que la dérivée serait de R ^2 à R ^2, correspondant à une matrice 2 par 2 et on obtient alors un nombre complexe.

Avant d'étudier comment concilier cette différence, regardons les conséquences de la définition pour la partie réelle et imaginaire de f . Écrivons h = Δx+iΔy , et f (z) = u(z)+iv(z), que nous pouvons aussi considérer comme

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) .

Donc, Re( f ) = u(x, y) et Im( f ) = v(x, y)

Ensuite, le quotient dans la définition de la dérivée complexe peut être réécrit comme,

On pourrait envisager plusieurs manières d'envoyer Δx+iΔy à zéro, en obtenant la même réponse si la limite existe.

Nous allons considérer les deux options évidentes, envoyer Δx d'abord à zéro suivi de Δy, et l'inverse, Δy d'abord suivi de Δx. Nous trouvons,

Cela signifie immédiatement que nous devons au moins exiger que certaines relations entre les dérivées partielles de u et v soient maintenues afin d'avoir une différentielle complexe. À savoir,

Ces équations sont connues sous le nom d' équations de Cauchy-Riemann .

Ce sont clairement des conditions nécessaires, mais à ce stade, cela ne garantit en rien qu'un différentiel complexe existerait s'il était satisfait.

Nous allons maintenant utiliser les équations de Cauchy-Riemann et relier la dérivabilité complexe à la dépendance de la fonction sur le conjugué complexe de z (barre z).

Considérons f (z) comme donné par u(x, y)+iv(x, y). En utilisant le fait que,

nous pouvons réécrire la fonction en termes de z et ¯z. Maintenant, nous pourrions considérer la dérivée de f par rapport à ¯z. En appliquant la règle de la chaîne que nous obtiendrions,

que l'on peut simplifier,

Notez que si la fonction est différentiable complexe, elle satisfait les équations de Cauchy-Riemann et donc l'expression ci-dessus est identiquement nulle. En ce sens, on dit que si une fonction est différentiable complexe, alors

Les deux équations ci-dessus peuvent également s'écrire comme,

Ensuite, nous pouvons également définir,

Bien que df / d z ait un sens pour f différentiable simplement réel , si f est également différentiable complexe en z

alors on trouve que,

alors maintenant les équations de Cauchy-Riemann peuvent être simplement écrites comme,

f étant différentiable complexe est beaucoup plus fort que f étant réel différentiable. En effet, f étant complexe différentiable équivaut à la paire de conditions que f est réel différentiable ET que les équations de Cauchy-Riemann tiennent .

Ainsi, tout comme la continuité est une condition nécessaire mais insuffisante pour les fonctions différenciables réelles, il en va de même pour les équations de Cauchy-Riemann pour les fonctions différenciables complexes. C'est une condition nécessaire, mais pas suffisante pour montrer que la fonction f est complexe différentiable.

MA259 Multivariable Calculus (2020–21), MA244 Analysis III (2020–21) et MA3B8 Complex Analysis (2021–22) notes de cours de l'Université de Warwick référencées et utilisées pour l'étude et la recherche pour écrire cet article.