Objectif de cet article : Définir et calculer numériquement cette valeur. Les constantes seraient des apparitions en Mathématiques.

Connaissances supposées : Intégration (Calcul), Notion de convergence

Définition

Connue également sous le nom de constante d'Euler (à ne pas confondre avec e = 2,718281828459045…), la constante d'Euler-Mascheroni qui est désignée par le gamma minuscule (γ) est définie comme,

"La limite lorsque n → ∞ de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel de n ."

Ou alors,

Cette constante de valeur approximative γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992… existe. Mais on ne sait toujours pas si la constante est transcendantale ou algébrique. En fait, on ne sait même pas si γ est rationnel ou irrationnel.

Si cette constante est rationnelle, le dénominateur doit être supérieur à 10²⁴²⁰⁸⁰.

Calcul de la valeur de γ

Remplaçons différentes valeurs de n dans l'équation de γ définie ci-dessus,

On voit ici que lorsque n augmente et devient de plus en plus grand, ou, lorsqu'il tend vers l'infini, la valeur se rapproche de la valeur initialement définie de cette constante. Ce nombre est la constante d'Euler-Mascheroni .

Représentation graphique de γ

La zone orange sous la courbe y = 1/ x est la fonction logarithmique naturelle. C'est parce que l'intégration ou l'aire sous le graphe y = 1/x est ln x .

La zone verte des barres est une représentation graphique de la série harmonique.

La différence entre ces deux zones ombrées par les points bleus (ci-dessous) représente la constante d'Euler - Mascheroni,

Preuve de convergence

On sait que lorsque n tend vers l'infini, la fonction qui définit la constante d'Euler — Mascheroni converge vers une certaine valeur constante. Mais comment prouver cette convergence sans aucune force brute ?

Donc, nous savons que,

Où,

Prenons,

qui donne la constante quand n tend vers l'infini.

Pour prouver la convergence, nous allons

1. Démontrer que la suite est décroissante puis,
2. Montrer qu'il est borné .

Maintenant, en exprimant ln⁡(1 +x ) en utilisant la série de Taylor ,

En prenant x = -1/ n ,

En utilisant (3) dans (2),

Ainsi,

La suite est donc monotone strictement décroissante .

II. LA SÉQUENCE EST LIMITÉE

a) Limite supérieure de la séquence

Comme nous savons maintenant que la suite est strictement décroissante, le premier terme de la suite serait le plus grand terme.

Ainsi, le premier terme est,

La borne supérieure vaut donc 1 .

a) Limite inférieure de la séquence

Nous savons que,

Cela peut être écrit comme,

Maintenant,

On peut définir e^x comme

Si on omet le cas où x = 0,

Alors,

En prenant du rondin naturel des deux côtés,

A partir de (5),

En sommant des deux côtés,

A partir de (4),

En ajoutant H_n des deux côtés de l'équation,

Ou alors,

La borne inférieure est donc 0.

Ainsi, G_n est une suite monotone strictement décroissante avec bornes,

Par conséquent, la suite converge vers une limite γ , telle que 0 < γ < 1.

La limite de la suite G_n lorsque n → ∞ est la constante d'Euler — Mascheroni .