संख्या सिद्धांत क्या है?

जिस किसी को भी कभी प्यार हुआ है, वह आपको बताएगा कि दूसरे व्यक्ति के बारे में छोटी-छोटी बातें मायने रखती हैं। दिन के अंत में साझा किए गए मूर्खतापूर्ण चुटकुले। दूसरे व्यक्ति की सुबह की कॉफी की रस्म की ख़ासियत। जिस तरह से वह पुराने पेपरबैक को बेडसाइड टेबल पर ढेर करने देता है। इस तरह के परस्पर संबंधित विवरण हमें परिभाषित करते हैं। वे हमारे व्यक्तित्व की अंतर्धाराओं का पता लगाते हैं, और, चौकस और प्यार भरी नज़र से, वे सच्ची सुंदरता को रोशन करते हैं।

कुछ लोगों की नज़र में गणित से बड़ी सुंदरता और कोई नहीं है। वे संख्याओं की दुनिया को देखते हैं और, जिस तरह आप कभी भी अपने मानव प्रिय को उसके पेशे या बालों के रंग से परिभाषित नहीं करेंगे , गणित प्रेमी केवल संख्याओं के कार्य से परे देखता है। सूचना के साधारण वाहक की तुलना में 6, 28 और 496 की पसंद कुछ अधिक उदात्त में बदल जाती है। उनके उपयोग से स्वतंत्र, संख्याएं आकर्षक संस्थाएं बन जाती हैं, और उनके गणितीय संबंध प्रकृति को रेखांकित करने वाली एक विशाल प्रणाली की जटिलता को व्यक्त करते हैं।

कभी-कभी सूक्ष्म और दूरगामी संबंधों का अध्ययन संख्या सिद्धांत है , जिसे कभी-कभी उच्च अंकगणित कहा जाता है । संख्या सिद्धांतकार पूर्णांकों के गुणों की छानबीन करते हैं , प्राकृतिक संख्याएं जिन्हें आप -1, -2, 0, 1, 2 आदि के रूप में जानते हैं। यह आंशिक सैद्धांतिक और आंशिक प्रयोगात्मक है, क्योंकि गणितज्ञ आकर्षक और यहां तक ​​कि अप्रत्याशित गणितीय अंतःक्रियाओं की खोज करना चाहते हैं।

किस तरह के रिश्ते? खैर, हम वास्तव में पूर्णांकों को उनके संबंधों के आधार पर विभिन्न संख्या प्रकारों में वर्गीकृत करते हैं। बेशक, विषम संख्याएँ (1,3, 5…) हैं, जिन्हें समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है, और सम संख्याएँ (2, 4, 6…), जो कर सकती हैं। वर्ग संख्याएँ होती हैं , जो किसी अन्य संख्या को स्वयं से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं। उदाहरण के लिए, 2 x 2 = 4 और 3 x 3 = 9, इसलिए 4 और 9 दोनों वर्ग संख्याएँ हैं। तो 1 (1 x 1 = 1) है और ऐसा ही 9,801 (99 x 99 = 9,801) है। हम इन चार उदाहरणों को 2 ² , 3 ² , 1 ² और 99 ^{2 के} रूप में भी व्यक्त करते हैं ।

आइए अब इस उदाहरण में एक और स्तर की साज़िश को जोड़ते हैं। कुछ मामलों में, हम अन्य वर्ग संख्याओं को बनाने के लिए वर्ग संख्याओं को एक साथ जोड़ सकते हैं जिसे पाइथागोरस ट्रिपल कहा जाता है , क्योंकि वे पाइथागोरस प्रमेय (a ² + b ² = c ² ) में फिट होते हैं । इसका एक उदाहरण है 3 ² + 4 ² = 5 ² , या 3, 4, 5।

संख्या सिद्धांत में ऐसे गणितीय संबंधों का विश्लेषण करने के साथ-साथ उनके बारे में नए प्रश्न पूछना शामिल है। लेकिन संख्या का सिद्धांत क्या है? प्रमाण बनाने में क्या जाता है, और कुछ गणितीय प्रश्न सदियों तक अनुत्तरित क्यों रहते हैं?

तो, गणित की दुनिया कई प्रकार की संख्या प्रदान करती है, जिनमें से प्रत्येक के अपने विशेष गुण होते हैं। गणितज्ञ संख्याओं और संख्या समूहों के बीच संबंधों के बारे में सिद्धांत तैयार करते हैं। वे अपने सिद्धांतों को स्वयंसिद्ध (पहले से स्थापित कथनों को सत्य माना जाता है) और प्रमेयों (अन्य प्रमेयों या स्वयंसिद्धों पर आधारित कथन ) के साथ बनाए रखते हैं ।

एक चमकदार, नए, गणितीय सिद्धांत के निर्माण में पहला कदम , हालांकि, संख्या संबंधों के बारे में एक सैद्धांतिक प्रश्न पूछ रहा है। उदाहरण के लिए, क्या दो घनों का योग एक घन हो सकता है? पिछले पृष्ठ से पाइथागोरस त्रिक याद है? तीन संख्याओं की ये तिकड़ी, जैसे (3, 4, 5), समीकरण a ² + b ² = c ^{2 को} हल करती हैं । लेकिन a ^३ + b ^३ = c ^{३ के} बारे में क्या ? गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट ने क्यूब्स के बारे में एक ही सवाल पूछा और, 1637 में, उन्होंने दावा किया कि उन्होंने एक गणितीय प्रमाण तैयार किया है, जो कि श्रमसाध्य तर्क की रेखा के माध्यम से, किसी भी संदेह से परे दिखाया गया है कि नहीं, दो क्यूब्स का योग नहीं हो सकता एक घन। हम इसे कहते हैंफ़र्मेट का अंतिम प्रमेय । दुर्भाग्य से, अपने नोट्स में पूर्ण प्रमाण प्रदान करने के बजाय, फ़र्मेट ने केवल लिखा, "मेरे पास इस प्रस्ताव का वास्तव में अद्भुत प्रदर्शन है, जिसमें यह मार्जिन शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है" [स्रोत: नोवा ]।

साढ़े तीन से अधिक शताब्दियों के बाद, दुनिया भर के गणितज्ञों ने फ़र्मेट के प्रमाण को फिर से खोजने की व्यर्थ कोशिश की। इस खोज में क्या सवार था? अकादमिक गौरव और शुद्ध, अमूर्त गणित के प्यार के अलावा कुछ नहीं। फिर 1993 में, फ़र्मेट के समय में खोजे गए कम्प्यूटेशनल गणित की सहायता से, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने 356 साल पुराने प्रमेय को साबित करने में सफलता हासिल की। विशेषज्ञ इस बात पर विवाद करना जारी रखते हैं कि क्या फ़र्मेट ने वास्तव में अपने पूर्व-कंप्यूटर युग में इस तरह के अभूतपूर्व प्रमाण पर काम किया था, या यदि उनसे गलती हुई थी।

संख्या सिद्धांत में अन्य प्रश्न संख्या या संख्या समूहों में विभिन्न कथित या सैद्धांतिक पैटर्न से संबंधित हैं। यह सब बुद्धिमान विचार के उस सबसे महत्वपूर्ण पहलू से शुरू होता है: पैटर्न मान्यता। ब्राउन यूनिवर्सिटी के गणित के प्रोफेसर जोसेफ एच। सिल्वरमैन संख्या सिद्धांत में पांच बुनियादी कदम बताते हैं:

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय, इसलिए, वास्तव में 356 वर्षों के लिए एक अनुमान था और केवल 1993 में एक वास्तविक प्रमेय बन गया। अन्य, जैसे यूक्लिड का अनंत अभाज्य संख्याओं का प्रमाण (जो साबित करता है कि अभाज्य संख्याएँ असीम हैं), तब से गणितीय तर्क का एक ठोस मॉडल बना हुआ है। 300 ईसा पूर्व अभी भी अन्य संख्या सिद्धांत अनुमान, पुराने और नए दोनों, अप्रमाणित हैं।

संख्याएं उतनी ही अनंत हैं जितनी मानव समझ सीमित है, इसलिए संख्या सिद्धांत और इसके विभिन्न उपक्षेत्र युगों तक गणित प्रेमियों के मन को मोहित करते रहेंगे। पुरानी समस्याएं कम हो सकती हैं, लेकिन नए और अधिक जटिल अनुमान बढ़ेंगे।

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उभरते हुए अनुप्रयोग

अधिकांश भाग के लिए, संख्या सिद्धांत गणितीय अध्ययन का एक विशुद्ध रूप से सार क्षेत्र बना हुआ है, लेकिन क्रिप्टोग्राफी के क्षेत्र में अनुप्रयोग मौजूद हैं, जहां संख्या सिद्धांत सरल लेकिन अत्यधिक सुरक्षित कोड बना सकता है। आवेदन के अन्य क्षेत्रों में डिजिटल सूचना प्रसंस्करण, कंप्यूटिंग, ध्वनिकी और क्रिस्टलोग्राफी शामिल हैं।

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