Bukti Sederhana

Bilangan genap ditambah bilangan genap menghasilkan bilangan genap.

Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil menghasilkan bilangan ganjil.

Ganjil ditambah genap menjadi ganjil.

Anda mungkin diajari aturan sederhana itu di sekolah dasar. saya dulu. Dan sepertinya itu benar. Cobalah beberapa kali, dengan beberapa angka berbeda, dan selalu berhasil. (Jika tidak, periksa pekerjaan Anda. Jika masih tidak berhasil, publikasikan.)

Tapi apakah bisa untuk semua nomor? Tidak peduli seberapa besar?

Perbedaan antara matematika yang biasa kita ajarkan di sekolah, dan matematika yang dilakukan para matematikawan, adalah sebagai berikut:

1. Di sekolah, kita diajari aturan semacam ini agar kita bisa menggunakannya saat 'mengerjakan matematika'.
2. Matematikawan mencoba untuk menemukan apa aturannya, dan menghasilkan argumen yang paling ringkas dan elegan untuk menunjukkan mengapa aturan itu (atau tidak) benar.

Seperti yang dijelaskan oleh Paul Lockhart secara persuasif (dan dengan humor) dalam esainya A Mathematician's Lament, seni menemukan kebenaran adalah matematika sejati, dan sangat menyenangkan. Dan tidak harus pembuktian formal dan kaku yang terkadang diajarkan di sekolah. Ini hanya tentang mencari pola dan membuat argumen yang elegan.

Alih-alih memberi tahu pelajar muda aturan tentang jumlah bilangan ganjil dan genap, bagaimana jika kita pertama-tama meminta mereka untuk mencari tahu apa aturannya, dan kemudian meminta mereka memberikan penjelasan mengapa itu aturan?

Inilah contoh jenis pemikiran yang mungkin menjadi 'bukti', yang hanya merupakan salah satu dari banyak solusi yang mungkin:

Pertama, mari kita hitung bukan dengan angka abstrak tetapi dengan objek nyata, dalam hal ini kotak. Berikut adalah lima kotak:

[gambar beberapa kotak yang ditempatkan secara sewenang-wenang]

Karena angka genap berarti dapat dibagi dua, kita tahu bahwa kita dapat mengatur jumlah persegi yang genap menjadi dua baris dengan panjang yang sama, dan ujungnya akan menjadi 'persegi':

Angka ganjil, di sisi lain, akan selalu memiliki ujung yang 'tidak rata' di mana baris tidak berbaris:

Menata ulang gambar-gambar ini, sekarang kita dapat melihat bahwa aturan kita tampaknya benar. Dua bilangan genap, diletakkan ujung ke ujung, memiliki ujung genap.

Dengan membalik satu angka ganjil dan menempelkan kedua ujungnya yang acak-acakan, dua angka ganjil juga memiliki ujung genap.

Tapi satu ganjil dan satu genap, tidak peduli bagaimana kita membalik dan memutar, tidak pernah memberi kita ujung yang genap.

Ini akan benar tidak peduli berapa lama angka kita, karena yang terpenting adalah apakah ujungnya kasar atau persegi. (Hal-hal petir itu dimaksudkan untuk menyarankan jarak yang sewenang-wenang ... bayangkan ada ribuan kotak di sana.)

QED

Apakah ini bukti matematika yang valid? Apakah itu penting? Seorang anak, atau sekelompok anak, yang telah menghabiskan waktu untuk memikirkan 'bukti' semacam ini akan mengembangkan pemahaman tentang dan mungkin antusiasme terhadap matematika yang tidak akan diberikan oleh latihan hafalan sebanyak apa pun kepada mereka. Lebih penting lagi, mereka akan mulai belajar "apa yang harus dilakukan ketika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan." Artinya, kepercayaan diri untuk menyelesaikan masalah yang belum pernah Anda lihat sebelumnya, bukan hanya mengikuti langkah-langkah masalah yang Anda miliki.