Costante di Feigenbaum

Il mio ultimo articolo è stata una brevissima introduzione alla teoria del caos in cui ho scritto principalmente sull'effetto farfalla , ovvero il concetto da cui è iniziata la teoria del caos. Avevo precedentemente discusso del grafico della popolazione in uno dei miei articoli . Ho descritto il grafico come un frattale chiamato "il fico". Avevo anche accennato al fatto che i frattali facevano parte della teoria del caos. Quindi, come fa il caos a formare finalmente questo grafico?

C'è una costante molto famosa che viene menzionata insieme ad altre famose costanti matematiche come π, sqrt{2}, e, i, ecc. Io, personalmente, non ne avevo mai sentito parlare prima, fino a poco tempo fa. Questa costante è chiamata " Costante di Feigenbaum ", il suo valore è δ = 4.6692016……., il che significa che è irrazionale come π o e. Ci sono due costanti di Feigenbaum. L'altro chiamato è simboleggiato come α, ma questa è tutta un'altra storia di cui non parlerò in questo articolo.

Intorno agli anni '70, uno scienziato di nome Robert May , scrisse un articolo in cui aveva scritto un'equazione che modellava la crescita della popolazione. L'equazione è la seguente:

In questo, x_(n+1) è la popolazione del prossimo anno, x_n è la popolazione attuale e λ è la fertilità. Questa equazione è una mappa logistica o semplicemente una funzione per la crescita della popolazione. Quindi, fondamentalmente, usando questa equazione, possiamo prevedere quale sarà la popolazione per una comunità l'anno prossimo. Ho detto che λ è come la fertilità della popolazione. Quindi, se il suo valore è alto, c'è un alto allevamento, ma, se è basso, allora c'è un basso allevamento. Il valore di λ è compreso tra 0 e 1 dove 0 significa nessun allevamento e 1 significa allevamento completo.

Ora, gli scienziati interessati alla crescita della popolazione hanno iterato questo grafico per osservare la variazione della popolazione in futuro. Nella parte destra o lato destro dell'equazione data, x_n è la vita, mentre (1 — x_n) è la morte.

Va bene. Prendiamo ora qualsiasi valore per x_1. Lascia che sia 0,5, cioè lascia che la popolazione sia la metà. Sto prendendo il valore di λ come 2.3.

Quindi, se calcoliamo la popolazione degli anni successivi usando l'equazione, cioè x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, sarà

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, rispettivamente.

Puoi osservare che il valore è diventato costante. In altre parole, la crescita della popolazione si è stabilizzata. Questo è chiamato come il punto fisso nell'iterazione.

Cosa succede se cambiamo λ. Prendiamo un λ molto piccolo, tra 0 e 1. Diciamo 0,65. Intuitivamente, è ovvio cosa accadrà se la fertilità è molto bassa. Ma calcoliamo ancora il mantenimento di x_1 come 0,5. Come ho calcolato x_2, x_3, x_4….. i seguenti sono i valori che ho calcolato.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0,0020, 0,0,0020

La popolazione è morta.

Cosa accadrebbe se prendo un valore di fertilità più alto, ad esempio 3,2?

L'ho calcolato di nuovo con x_1 come 0,5, dopo molte iterazioni, ho notato che i valori stavano andando come,

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,….. La popolazione è stabile, ma stabile a 2 valori.

Ora prenderò un valore scelto con cura di λ, che è 3,5.

Con x_1 pari a 0,5, ripetendo nuovamente i calcoli, ho notato che i valori, dopo molte iterazioni, continuavano come,

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,0,8281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,0,8281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,0,8281, 0,82,6…

Questa volta, il valore è stabile a 4 valori.

Ora facciamo grafici di tutti i casi che abbiamo visto.

a) Quando la popolazione si è stabilizzata

b) Quando la popolazione è morta

c) Quando la popolazione è rimbalzata tra due valori

d) Quando la popolazione è rimbalzata tra quattro valori

Ora, con i risultati che abbiamo, tracciamo un grafico con λ sull'asse x e la popolazione sull'asse y. Quanto segue è ciò che otterresti:

Quando λ = 3.2 avevamo due valori che stavano iterando. Quindi, noterai che il grafico si biforca lì. "Biforcata" è solo un modo sofisticato per dire che il grafico si biforca. Allo stesso modo, a circa 3,5, si biforca nuovamente in quattro. Questo va avanti ma, a un ritmo molto più veloce. Il grafico si biforcherebbe ancora più velocemente, ora, a variazioni molto piccole di λ stesso. Dopo un po', il grafico mostra qualcosa di straordinario mentre andiamo più a destra. Ma, prima, permettetemi di definire con cosa avevo iniziato questo articolo, la costante di Feigenbaum.

Come mostrato nel diagramma sopra, se prendo due lunghezze consecutive di ciascuna biforcazione del grafico e ne trovo il rapporto, riceverai un valore irrazionale costante, 4,6692016…….

Questa è la costante di Feigenbaum. Sta dicendo che la lunghezza di una biforcazione è 4.6692016……. volte più piccolo del precedente. Feigenbaum ha scoperto che se prendi un'equazione quadratica come l'equazione della popolazione, puoi creare un grafico del raddoppio del periodo semplicemente giocherellando con i parametri. E, prendendo il rapporto tra le lunghezze di due biforcazioni consecutive, otterresti lo stesso numero per qualsiasi equazione quadratica.

Quello che segue è il destino del grafico dopo circa λ = 3.59.

Il grafico diventa pazzo, o meglio, caotico. Sebbene questo grafico sia stato scoperto prima ancora che la teoria del caos fosse conosciuta. Questa costante e grafico è stata quindi utilizzata molto durante il suo studio. Il caos è sensibile alle condizioni iniziali che producono enormi cambiamenti, come spiegato dall'effetto farfalla. Allo stesso modo, qui, un piccolissimo cambiamento di λ può causare pazzi cambiamenti nel grafico. Insieme all'effetto farfalla, questo fu l'inizio della teoria del caos.