Matematica iperconcisa D5: Numeri complessi

Le coordinate polari (r, θ) = (magnitudo, angolo antiorario con cartesiano (1, 0)) possono essere utilizzate per tenere traccia degli angoli tra diversi vettori in due dimensioni. Sono legati alle coordinate cartesiane (x, y) tramite le equazioni x = r⦁cos(θ) e y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) si riferisce al punto (r, θ + τ/2 ), e se k è qualsiasi numero intero, (r, θ + k⦁τ) si riferisce al punto (r, θ)). Risolvendo per r e θ, r² = x² + y² e

Per esempio,

Moltiplicando un numero (vettore 1 dimensionale) per −1 lo fa ruotare di τ/2 radianti attorno a 0 (nello spazio 1 dimensionale). Si può definire un nuovo tipo di numero (i) tale che moltiplicando un numero per i esso ruota di τ/4 radianti attorno a 0 (nel piano complesso); qualsiasi numero nella forma x + i⦁y, dove sia x che y sono numeri reali (qualsiasi numero che può essere definito come il limite di un'espressione decimale) e i² = −1 è noto come numero complesso. Il piano complesso è lo spazio bidimensionale che contiene tutti i numeri complessi.

Se z è un numero complesso (e è una costante definita con il calcolo),

Per esempio,

Quando si utilizzano le proprietà delle "funzioni" inverse con numeri complessi, non è più possibile ignorare gli altri rami:

Teorema fondamentale dell'algebra: se ogni aₖ e bₖ è un numero complesso che non dipende da z (alcuni possono essere uguali), allora