カオス理論

カオスは私たちの周りのいたるところにあります。フラクタルはカオスから生まれます。それらは混沌の中で形成されたパターンと秩序です。フラクタル幾何学は、カオス理論と呼ばれるより広いトピックの一部です。では、「カオス」とは何か、「カオス理論」とは一体何なのか?

フラクタルは「カオス理論」と呼ばれるより大きな理論から生まれます。では、このカオス理論とは何でしょう？調べるために小さなゲームをしましょう…

[YouTube チャンネル Numberphile で、このゲームで説明されている Chaos Theory を初めて見たのですが、とても魅了されました。そのため、私の理解に基づいて繰り返し説明するために最善を尽くします。]

このゲームをカオスゲームと呼びましょう。それで、あなたはそれをプレイするために何が必要ですか？ただの白紙、何か書くもの、転がしダイス。

では、始めましょう。

ほぼ三角形の 3 つの頂点のように、紙に 3 つの点をマークすることから始めます。点に A、B、C の名前を付けます。開始点として別の点を描きます。ここでサイコロを振って、1か2が出たら開始点とAの間に点をマークします。しかし、3か4が出た場合は開始点とBの間に点をマークします。開始点と C の間のドット、つまり 5 または 6 が表示された場合。

2 が出てくると言うので、開始点と A の間に点をマークします。

その後、もう一度サイコロを振ります。2がまた出てきたとします。次に、前に置いたドットと A の間の点をマークします。次に、プロセスを繰り返します。

いくつかの試行の後、4 を取得したとしましょう。前にマークしたポイントと B の間にポイントをマークします。

わかりますよね？

しかし、しばらくこれを行うと、シート上にランダムで混沌としたドットがいくつかあることに気付くだけです。しかし、これらのランダムなドットが予期しない何かにつながるとしたらどうでしょうか? いくつかの結果を確認するために、コンピューターにこれを行うように依頼できます。これが可能なウェブサイトはたくさんあります。私はそれらの1つを試しました。(自分で試してみるには、ここをクリックしてください)。その中で、ポイント数を 3 に設定し、開始をクリックして速度を「高速」に設定しました。開始点 (ここではトレース ポイントと呼びます) が移動を開始し、点をマークします。5分ほど待っていると、次のことがわかりました。

まさにシェルピンスキー三角形です！ランダムなドットとカオスは、そのような秩序と対称的なパターンに私たちを導きます. これはカオス理論の一部です。カオス理論は通常、次のように定義されます。

「初期条件に非常に敏感な動的システムの動作に焦点を当てた数学の分野。」

したがって、この場合の初期条件は、開始点からの 3 つのドットと、ドットをマークするルールでした。3 ではなく 5 ドットで開始すると、別のパターンが得られます。カオス理論では、明らかなランダム性がさまざまなパターン、フラクタル、対称性などにつながります。バーンズリー シダは、カオス ゲームを通じて作成することもできます。

(自分で試してみるには、ここをクリックしてください)。

驚くべきことに、カオス理論の概念は最初に数学者によって発見されたのではなく、エドワード ノートン ローレンツという気象学者によって発見されました。彼は気象学者のコートを着た数学者でした。それはすべて、非常に有名になり、本や映画で使用されたコンセプトから始まりました. これがバタフライ効果です。

バタフライ効果は基本的に、蝶の羽ばたきが数週間後に世界の反対側で竜巻を引き起こす可能性があることを示しています. 無理そうですよね？具体的には、初期条件に対する動的システムの感度です。バタフライ効果は、近似によってのみ発見された概念でした。

天気予報士は、天気について概算を行い、陽気に不正確であることで知られていますが、それは完全に彼らのせいではありません. バタフライ効果によるものです。

エドワード・ローレンツは天気予報部門で働いていました。彼はそこでの予報士の一人でした。彼は当初、予測に関連する小数点以下 6 桁程度の値をいくつか見つけていました。これを彼のコンピューターに入力すると、特定のグラフが得られました。その後、彼は同じ値を再び与えました。今回のみ四捨五入して小数点以下3桁で概算しています。最初は同じグラフでした。しかし、しばらくすると、2 番目のグラフは最初のグラフと比較して非常に多くの差異と変動を示したため、予測が完全に変更されました。値が約 0.001 異なるだけで、グラフは大きく変化します。これがバタフライ効果です。これが、カオス理論のアイデア全体が生まれた場所です。

フラクタルは、このカオス理論の一部です。カオス理論は、エドワード・ローレンツによって次のように要約されました。

カオス：現在が未来を決定するが、おおよその現在が未来をおおよそ決定しない場合。」