Bagaimana Tessellations Bekerja

Kami mempelajari matematika karena keindahannya, keanggunannya, dan kemampuannya untuk mengkodifikasikan pola-pola yang dijalin ke dalam jalinan alam semesta. Di dalam figur dan formulanya, sekuler melihat keteraturan dan religius menangkap gaung yang jauh dari bahasa ciptaan. Matematika mencapai yang agung; kadang-kadang, seperti halnya tessellations, itu naik ke seni .

Tesselasi - mosaik tanpa celah dari bentuk yang ditentukan - termasuk jenis rasio, konstanta, dan pola yang berulang di seluruh arsitektur, menampakkan diri di bawah mikroskop dan memancar dari setiap sarang lebah dan bunga matahari. Pisahkan sejumlah persamaan dalam geometri, fisika, probabilitas dan statistik, bahkan teori geomorfologi dan chaos, dan Anda akan menemukan pi (π) terletak seperti batu penjuru. Bilangan Euler (e) muncul berulang kali dalam kalkulus, perhitungan peluruhan radioaktif, rumus bunga majemuk, dan kasus-kasus peluang ganjil tertentu. Rasio emas (φ) membentuk dasar seni, desain, arsitektur, dan musik jauh sebelum orang menemukannya, juga menentukan susunan alami daun dan batang, tulang, arteri, dan bunga matahari, atau cocok dengan siklus jam gelombang otak [sumber:Padovan , Weiss , Roopun ]. Bahkan memiliki hubungan dengan favorit pola abadi lainnya, deret Fibonacci , yang menghasilkan progresi ubin uniknya sendiri.

Sains, alam, dan seni juga dipenuhi dengan tesselasi. Seperti , e dan , contoh pola berulang ini mengelilingi kita setiap hari, mulai dari trotoar biasa, wallpaper, teka-teki jigsaw, dan lantai keramik hingga seni agung seniman grafis Belanda MC Escher , atau karya ubin menakjubkan dari benteng Moor abad ke-14 , Alhambra, di Granada, Spanyol. Sebenarnya, kata "tessellation" berasal dari tessella , bentuk kecil dari kata Latin tessera , individu, biasanya persegi, ubin dalam mosaik. Tessera pada gilirannya mungkin muncul dari kata Yunani tessares , yang berarti empat.

Matematika, sains, dan alam bergantung pada pola yang berguna seperti ini, apa pun artinya. Di luar keindahan luar biasa dari sebuah mosaik atau ukiran, tessellations menemukan aplikasi di seluruh matematika, astronomi, biologi, botani, ekologi, grafik komputer , ilmu material dan berbagai simulasi, termasuk sistem jalan.

Dalam artikel ini, kami akan menunjukkan kepada Anda apa itu mosaik matematis, jenis simetri apa yang dapat mereka miliki, dan tesselasi khusus mana yang disimpan oleh para ahli matematika dan ilmuwan dalam kotak peralatan trik pemecahan masalah mereka.

Pertama, mari kita lihat bagaimana membangun sebuah tessellation.

Tessellations menjalankan keseluruhan dari dasar hingga membingungkan. Yang paling sederhana terdiri dari satu bentuk yang menutupi bidang dua dimensi tanpa meninggalkan celah. Dari sana, langit adalah batasnya, dari pola kompleks berbagai bentuk tidak beraturan hingga padatan tiga dimensi yang cocok untuk mengisi ruang atau bahkan dimensi yang lebih tinggi .

Tiga bentuk geometris reguler saling berhubungan: segitiga sama sisi, bujur sangkar, dan segi enam. Bentuk empat sisi lainnya juga demikian, termasuk persegi panjang dan belah ketupat (berlian). Dengan ekstensi, ubin segitiga tidak sama sisi mulus jika ditempatkan saling membelakangi, menciptakan jajaran genjang. Anehnya, segi enam dalam bentuk apa pun terselubung jika sisi-sisinya yang berlawanan sama besar. Oleh karena itu, bentuk empat sisi apa pun dapat membentuk mosaik tanpa celah jika diletakkan saling membelakangi, membuat segi enam.

Anda juga dapat melakukan tesselasi pada bidang dengan menggabungkan poligon beraturan, atau dengan menggabungkan poligon beraturan dan semireguler dalam susunan tertentu. Poligon adalah bentuk dua dimensi yang terdiri dari segmen garis, seperti segitiga dan persegi panjang. Poligon beraturan adalah kasus khusus poligon yang semua sisi dan semua sudutnya sama besar. Segitiga sama sisi dan bujur sangkar adalah contoh yang baik dari poligon beraturan.

Semua tessellations, bahkan yang indah dan kompleks seperti MC Escher, dimulai dengan bentuk yang berulang tanpa celah. Triknya adalah mengubah bentuknya -- katakanlah, sebuah belah ketupat -- sehingga masih pas satu sama lain. Satu pendekatan sederhana memerlukan pemotongan bentuk dari satu sisi dan menempelkannya ke sisi lain. Ini menghasilkan bentuk yang cocok dengan dirinya sendiri dan mudah ditumpuk. Semakin banyak sisi yang Anda ubah, semakin menarik polanya.

Jika Anda merasa lebih berani, cobalah mencoret-coret garis bergelombang di satu sisi, lalu menyalin garis yang sama ke sisi yang berlawanan. Pendekatan ini mungkin memerlukan beberapa penyesuaian agar potongan-potongan itu saling mengunci dengan benar. Misalnya, jika poligon Anda memiliki jumlah sisi yang ganjil, Anda mungkin ingin membagi sisi yang tersisa menjadi dua dan kemudian menggambar bentuk bayangan cermin di kedua sisi belahan. Ini menciptakan sisi yang saling terkait dengan dirinya sendiri.

Coba keberuntungan Anda dengan dua atau lebih bentuk yang tessellate. Anda dapat melakukan ini secara geometris, atau cukup mengisi halaman dengan bentuk apa pun yang Anda suka, lalu bayangkan gambar yang sesuai dengan ruang negatif. Metode terkait memerlukan pengisian bentuk tesselasi yang diketahui dengan bentuk yang lebih kecil. Bahkan ada tesselasi fraktal -- pola-pola bentuk yang pas dan serupa pada berbagai skala.

Jangan khawatir jika hasil awal Anda tampak agak tidak masuk akal. Escher membutuhkan waktu bertahun-tahun untuk menguasai mosaik gila ini, dan bahkan dia memiliki pasangan yang tidak selalu masuk akal.

Sekarang setelah kita meletakkan dasar, mari kita lihat beberapa tesselasi khusus yang digunakan peneliti untuk memecahkan masalah teoretis dan terapan yang rumit.

MC Escher

Tidak ada bakat tessellation yang mengalahkan seniman grafis Belanda MC Escher . Seorang ahli litograf, penebang kayu dan pengukir, Escher menjadi tertarik pada bentuk-bentuk luhur setelah mengunjungi Alhambra sebagai seorang pemuda [sumber: Universitas St. Andrews ].

Meskipun bukan yang pertama memindahkan tessellation dari bentuk geometris ke bentuk organik dan fantastis, Escher membuktikan dirinya sebagai praktisi unggulannya. Karya seninya yang fantastis, mempesona, dan seringkali mustahil tetap populer hingga saat ini.

Saat peneliti menjelajahi tessellations dan mendefinisikannya secara matematis, mereka mengidentifikasi jenis tertentu yang unggul dalam memecahkan masalah yang sulit. Salah satu contoh populer adalah tesselasi Voronoi ( VT ) juga dikenal sebagai tesselasi Dirichlet atau poligon Thiessen.

 VT adalah tessellation berdasarkan sekumpulan titik, seperti bintang pada grafik. Setiap titik diapit oleh sel poligonal -- bentuk tertutup yang terbentuk dari segmen garis -- yang mencakup seluruh area yang lebih dekat ke titik yang menentukan daripada titik lainnya. Batas sel (atau segmen poligon) berjarak sama dengan dua titik; node, di mana tiga atau lebih sel bertemu, berjarak sama dengan tiga atau lebih titik yang menentukan. VT dapat menguji dimensi yang lebih tinggi juga.

Pola VT yang dihasilkan menyerupai jenis sarang lebah yang mungkin dibuat lebah setelah menekuk nektar sepanjang malam. Namun, apa yang kurang dalam keindahan sel-sel sombong ini, mereka lebih dari sekadar menebus nilainya.

Seperti tessellations lainnya, VT muncul berulang kali di alam. Sangat mudah untuk mengetahui alasannya: Setiap fenomena yang melibatkan sumber titik yang tumbuh bersama pada tingkat yang konstan, seperti spora lumut di atas batu, akan menghasilkan struktur seperti VT. Kumpulan gelembung terhubung membentuk VT tiga dimensi, peneliti kesamaan memanfaatkan saat memodelkan busa.

VT menyediakan cara yang berguna untuk memvisualisasikan dan menganalisis pola data juga. Data spasial yang berkerumun rapat akan menonjol pada VT sebagai area yang padat dengan sel. Para astronom menggunakan kualitas ini untuk membantu mereka dalam mengidentifikasi gugus galaksi .

Karena prosesor komputer dapat membangun VT dengan cepat dari data sumber titik dan serangkaian instruksi sederhana, menggunakan VT menghemat memori dan daya pemrosesan -- kualitas penting untuk menghasilkan grafik komputer mutakhir atau untuk mensimulasikan sistem yang kompleks. Dengan mengurangi perhitungan yang diperlukan, VT membuka pintu untuk penelitian yang tidak mungkin dilakukan, seperti pelipatan protein, pemodelan seluler, dan simulasi jaringan.

Kerabat dekat dengan VT, tessellation Delaunay juga menawarkan berbagai kegunaan. Untuk membuat tessellation Delaunay, mulailah dengan VT, dan kemudian tarik garis di antara titik-titik yang menentukan sel sedemikian rupa sehingga setiap garis baru memotong garis bersama dari dua poligon Voronoi. Kisi segitiga chubby yang dihasilkan menyediakan struktur praktis untuk menyederhanakan grafik dan medan.

Matematikawan dan ahli statistik menggunakan teselasi Delaunay untuk menjawab pertanyaan yang tidak dapat dihitung, seperti memecahkan persamaan untuk setiap titik dalam ruang. Alih-alih mencoba perhitungan tak terbatas ini, mereka menghitung satu solusi untuk setiap sel Delaunay.

Dalam pidatonya pada 27 Januari 1921 di Akademi Ilmu Pengetahuan Prusia di Berlin, Einstein berkata, "Sejauh hukum matematika merujuk pada kenyataan, mereka tidak pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk menuju kenyataan." Jelas, pendekatan tessellated tidak sempurna. Namun demikian, mereka memungkinkan kemajuan dengan mengurangi masalah yang berat menjadi bentuk yang dapat dikelola oleh kekuatan komputasi saat ini. Lebih dari itu, mereka mengingatkan kita pada keindahan dan keteraturan kosmos yang mendasarinya.

simetri menakutkan

Semua bidang dua dimensi dengan pola berulang termasuk dalam salah satu dari 17 "kelompok wallpaper" yang menggambarkan tipe simetrinya (walaupun tidak semua tesselasi simetris) [sumber: Joyce ]. Empat kategori utama tersebut antara lain:

1. Terjemahan : Geser pesawat ke arah tertentu dan tetap tidak berubah
2. Rotasi : Memutar bidang dengan sudut tertentu dan tetap tidak berubah
3. Refleksi meluncur : Geser bidang sepanjang vektor dan pantulkan tentang vektor yang sama, dan itu tetap tidak berubah
4. Simetri cermin (pemantulan sederhana) : Pegang cermin ke bagian pesawat dan tetap tidak berubah (kasus khusus pemantulan luncur)

Mosaik Alhambra yang terkenal menampilkan 13 kelompok simetri. Seni Mesir menggunakan 12 [sumber: Grünbaum ].

Artikel Terkait

Lebih Banyak Tautan Hebat