Frattali e le sue dimensioni

I frattali sono forme folli che mostrano ordine e schemi in disegni caotici. Ha molte curve affascinanti. Questi modelli interessanti sono stati studiati individualmente grazie alle sue proprietà uniche. Uno di questi è il triangolo di Sierpinski .

Il triangolo di Sierpinski è fondamentalmente un triangolo equilatero diviso in quattro triangoli equilateri (come mostrato nell'immagine sotto) e il triangolo centrale viene rimosso. Quindi quei sub-triangoli vengono nuovamente divisi in modo simile in quattro triangoli equilateri e il triangolo centrale viene rimosso. Questo processo viene ripetuto all'infinito e nel processo il triangolo complesso ricevuto è il triangolo di Sierpinski. Ora, se in un triangolo di Pascal tutti i numeri dispari sono colorati di nero ei numeri pari sono colorati di bianco, allora quello che alla fine ottieni è il triangolo di Sierpinski. Inaspettato, vero?

I frattali non erano solo forme casuali o schemi creati matematicamente. È stato visto anche nel grafico della popolazione. È stato osservato che il cibo aumentava linearmente, ma la popolazione aumentava in modo esponenziale. Successivamente si scoprì che la popolazione non continuava ad aumentare in questo modo. È aumentato per alcuni anni, poi, a causa della carenza di cibo e risorse, è nuovamente diminuito. Questo cambiamento di popolazione ha seguito una semplice funzione,

[Lascia che l'equazione di cui sopra sia etichettata (1).]

Dove, X è la popolazione dell'anno in corso e X_next è la popolazione dell'anno successivo a X e r è una costante che può essere regolata in base alla popolazione modellata. Per osservare il comportamento a lungo termine dei sistemi, questa formula è stata ripetuta più e più volte e per vedere cosa succede. Questo processo è chiamato iterazione.

L'equazione (1) viene tracciata prendendo 'r' come 3,5 e assumendo con una situazione ipotetica che il valore di X sia solo compreso tra 0 e 1, e iterata all'infinito. Di seguito il grafico ottenuto:

Questo grafico è stato considerato come un frattale in quanto mostrava la proprietà dell'autosomiglianza in esso. Quando ingrandisci la "finestra dell'ordine" del grafico, che è l'ampio spazio nel grafico, noterai lo stesso grafico originale presente di nuovo in quella finestra. Più ingrandisci, trovi sempre lo stesso grafico nella finestra del caos. Questo frattale era indicato come "Il fico".

Come avevo accennato in uno dei miei articoli precedenti, i frattali sono forme ruvide e irregolari. Questa rugosità e irregolarità possono essere facilmente calcolate. Come? Calcolando la loro dimensione frattale. Felix Hausdorff e Abram Besicovitch scoprirono che i frattali avevano dimensioni non intere. Hanno descritto che i frattali sono curve che hanno dimensione "tra" le dimensioni intere. Queste dimensioni frattali sono, quindi, indicate anche come dimensione di Hausdorff-Besicovitch. Ma come calcolare queste dimensioni? Esistono due metodi principali che possono essere utilizzati per calcolare facilmente la dimensione.

Uno, usando la proprietà dell'auto-somiglianza che possiedono i frattali. Prendiamo forme con dimensioni note 1,2 e 3. Per la dimensione uno, prendiamo una linea di lunghezza 1 unità e riduciamola a 1/4 della sua lunghezza originale. Quindi, la sua lunghezza ora è di 1/4 di unità. Per ottenere la lunghezza originale, dobbiamo moltiplicare quel 1/4 della linea quattro volte. Lascia che il fattore, la linea viene ridimensionata di, sia 's', il numero per il quale 's' viene moltiplicato per ottenere la lunghezza originale sia 'n' e la dimensione sia 'D'. Quindi, osserverai che in questo caso,

Questa formula è valida per qualsiasi dimensione. Supponiamo di provare a dimostrarlo utilizzando l'area di una forma bidimensionale. Quindi, riduciamo ogni lato di un quadrato avente lunghezza unitaria a 1/2 della sua lunghezza originale in modo che la sua area venga ridotta di. 1/4. Quindi per tornare al quadrato originale, dobbiamo moltiplicare il quadrato ridotto per 4 volte.

Quindi, D = 2, che era la dimensione richiesta.
Allo stesso modo, può essere dimostrato per una forma tridimensionale.

Pertanto, l'equazione generale trovata è,

L'equazione (2) è una delle formule che possono essere utilizzate per trovare la dimensione frattale di una forma. Ora, supponiamo di prendere una curva di Koch,

Con i valori sopra indicati di n e s, se proviamo a calcolare la sua dimensione frattale con l'equazione (2), otteniamo approssimativamente 1.26 . Questa è la dimensione del frattale, curva di Koch.

Due, utilizzando un metodo di conteggio della griglia.
In questo metodo, devi solo disegnare griglie sull'immagine frattale, ogni casella in essa con una scala di 1 unità. Quindi disegna di nuovo una griglia su di essa, ma questa volta ogni casella ha una scala di 1/2. Il nuovo, con ogni scatola che ha una scala di 1/4. Conta il numero di caselle attraverso le quali passa il frattale. È possibile calcolare la dimensione utilizzando la seguente formula,

dove n( ) è il numero di quadrati contenenti l'immagine e 1/s è la sua scala della griglia. Possiamo ora calcolare la dimensione della curva di Koch. Di seguito sono riportate tre griglie di scala nel rapporto 1 : 1/2 : 1/4. Contando, il numero di caselle della prima, seconda e terza griglia è risultato essere rispettivamente 18, 41 e 105.

Calcolo della dimensione utilizzando la griglia di scala 1 e 1/2,

Calcolo della dimensione utilizzando la griglia di scala 1 e 1/4,

Calcolo della dimensione utilizzando la griglia di scala 1/2 e 1/4,

Trovando la media di questi tre valori, è risultato essere circa 1,27. Questo è vicino a 1,26 che è la dimensione originale della curva di Koch.

Quindi, questi sono due semplici modi in cui puoi calcolare la dimensione frattale di un'immagine frattale.