Hyperconcise Math C5: input multipli

Il grafico di una funzione con n ingressi indipendenti (che può essere considerata una funzione di un punto) definisce un oggetto n dimensionale nello spazio n+1 dimensionale. Ad esempio, una funzione con un input y = f(x) (x, y e z sono numeri reali) definisce una curva (ha lunghezza ma area zero), mentre una funzione con due input indipendenti (z = f(x, y)) definisce una superficie (ha area ma volume zero):

Alcune funzioni multivariabili non sono definite per intere curve o aree nello spazio di input:

I limiti con più variabili (poiché gli input si avvicinano arbitrariamente al punto (a,b...), l'output si avvicina arbitrariamente a un certo numero) hanno le stesse proprietà dei limiti con una variabile (si noti che in qualsiasi limite multivariabile di una funzione che dipende solo da x, le altre variabili possono essere rimosse per formare un limite di una variabile). Tuttavia, se i limiti lungo ogni curva nello spazio di input che contiene (a,b,...) non sono gli stessi, il limite complessivo in (a,b,...) "non esiste" (c è qualsiasi numero che non dipende da x):

Dimostrare che esiste un limite multivariabile in genere implica l'utilizzo di proprietà limite, semplificazione, modifica di variabili o il teorema di compressione.