ファイゲンバウム定数

前回の記事はカオス理論の非常に短い紹介で、主にバタフライ効果、つまりカオス理論が始まった概念について書きました。以前、記事の 1 つで人口グラフについて説明しました。私はグラフを「イチジクの木」と呼ばれるフラクタルとして説明しました。また、フラクタルはカオス理論の一部であると述べました。では、カオスは最終的にどのようにしてこのグラフを形成するのでしょうか?

π、sqrt{2}、e、i などの他の有名な数学定数と一緒に言及されている非常に有名な定数があります。私は個人的に、最近までそれを聞いたことがありませんでした。この定数は「ファイゲンバウム定数」と呼ばれ、その値は δ = 4.6692016…….であり、π や e のように無理数であることを意味します。ファイゲンバウム定数は 2 つあります。もう1つはαと記号化されていますが、それはこの記事ではお話ししません。

1970 年代頃、ロバート メイという科学者が、人口増加をモデル化した方程式を書いた論文を書きました。式は次のとおりです。

ここで、x_(n+1) は来年の人口、x_n は現在の人口、λ は出生率です。この方程式は、ロジスティック マップまたは人口増加の単なる関数です。基本的に、この方程式を使用して、来年のコミュニティの人口を予測できます。λ は人口の出生率のようなものだと言いました。つまり、値が高ければ繁殖力が高く、低ければ繁殖力が低いということです。λ の値は 0 から 1 の間で、0 は繁殖なしを意味し、1 は完全な繁殖を意味します。

さて、人口増加に興味を持った科学者たちは、このグラフを反復して、将来の人口の変動を観察しました。与えられた方程式の RHS または右辺では、x_n は生であり、(1 — x_n) は死です。

わかった。x_1 に任意の値を取りましょう。それを 0.5 とします。つまり、人口を半分にします。λ の値を 2.3 としています。

したがって、式を使用して次の年の人口を計算すると、つまり x_2、x_3、x_4、x_5、x_6、x_7、x_8、x_9、x_10、x_11 になります。

0.575、0.5621、0.5661、0.5649、0.5653、0.5652、0.5652、0.5652、0.5652、0.5652、それぞれ。

値が一定になっていることがわかります。言い換えれば、人口増加は安定しています。これは、反復の固定点と呼ばれます。

λ を変更するとどうなりますか。0 と 1 の間の非常に小さい λ を選びましょう。0.65 としましょう。受胎率が非常に低い場合に何が起こるかは、直感的に明らかです。ただし、x_1 を 0.5 として保持して計算してみましょう。x_2、x_3、x_4….. を計算すると、次の値が計算されます。

0.1625、0.0885、0.0524、0.0323、0.0203、0.0129、0.0083、0.0053、0.0035、0.0022、0.0015、0.0009、0.0006、0.0004、0.0003、0、0.0002

人口は死んでいます。

より高い出生率の値、たとえば 3.2 を使用するとどうなりますか?

x_1 を 0.5 として再度計算しました。何度も繰り返した後、値が次のようになっていることに気付きました。

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,…..人口は安定していますが、2 つの値で安定しています。

ここで、慎重に選択した λ の値、つまり 3.5 を使用します。

x_1 を 0.5 として、再び計算を行ったところ、多くの反復の後、値が次のようになっていることに気付きました。

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.0,8.9.4.0.0,0.9

今回は4値で値が安定しています。

それでは、これまでに見たすべてのケースからグラフを作成してみましょう。

a) 人口が安定した時期

b) 人口が死亡したとき

c) 人口が 2 つの値の間で跳ね返ったとき

d) 人口が 4 つの値の間で跳ね返った場合

取得した結果を使用して、x 軸に λ、y 軸に人口を示すグラフをプロットします。以下はあなたが得るものです：

λ = 3.2 のとき、反復する 2 つの値が得られました。したがって、グラフがそこで分岐していることに気付くでしょう。「分岐」は、グラフが分岐することを洗練された方法で表現したものです。同様に、約 3.5 で、再び 4 つに分岐します。これは続きますが、はるかに速い速度で進行します。グラフは、λ 自体の非常に小さな変化でさらに速く分岐します。しばらくすると、グラフはさらに右に行くにつれて異常なものを示します。しかし、その前に、この記事の最初に取り上げたファイゲンバウム定数について定義させてください。

上の図に示すように、グラフの各分岐の任意の 2 つの連続する長さを取得してその比率を求めると、一定の無理数 4.6692016 が得られます…….

これがファイゲンバウム定数です。分岐の長さは4.6692016……。前のものより一回り小さい。Feigenbaum は、人口方程式のような 2 次方程式を使用すると、パラメーターをいじるだけで周期倍増グラフを作成できることを発見しました。また、連続する 2 つの分岐の長さの比を取ると、どの二次方程式でも同じ数が得られます。

以下はλ=3.59あたり以降のグラフの運命です。

グラフがおかしくなるというか、混沌としています。このグラフは、カオス理論が知られる前に発見されましたが。したがって、この定数とグラフは、研究中に多く使用されてきました。カオスは、バタフライ効果によって説明されるように、大規模な変化を生み出す初期条件に敏感です。同様に、ここでは、λ の非常に小さな変化がグラフに異常な変化を引き起こす可能性があります。これがバタフライ効果とともに、カオス理論の始まりでした。