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円の面積がπr²であることはよく知られています。この考えを証明する方法はいくつかあります。円についての別の考え方を紹介しましょう。

上の画像は、30 辺の正多角形を示しています。ほぼ円に見えませんか？

これは、円の面積を求めるために利用しようとしているプロパティです。しかし、その前に、道具箱を作成していくつかのアイデアを確立することが重要です。

ツールチェスト:

• 二等辺三角形の面積 = (1/2)*(a²sinθ)
• lim (sin x)/x (x → 0) = 1
• 180° = πラジアン

ここで、
n — 辺の数
a — 三角形の 2 つの等しい辺の長さ
θ — 三角形の 2 つの等しい辺の間の角度
A — n 辺の正多角形の面積

注意すべき重要な点は、「θ」は360°/n とも書けることです。なぜそれが真実なのか考えてみてください。また、円の場合、「a」は半径と呼ばれます。

n が ∞ になるとどうなるでしょうか。見てみましょう：

上記の式は、(360/n) で乗算および除算することにより、少し変更できます。ツールチェストからlim (sin x)/x (x → 0) = 1の形に還元されます。

最後に、分子と分母の n をキャンセルすると、次のようになります。

しかし、180° =ツール チェストからの π ラジアンです。したがって、円の面積は次のとおりです。

この証明は、私たちの心に新たな疑問を投げかけます — 同じ方法を使って、円の円周が 2πr であることを証明できますか?
それが可能か不可能か、そしてその理由を考えてみてください。