Euler Sabiti

“e”. Hepimiz “e” ile karşılaşmışızdır. O nedir?

İngilizce dilinde 5. alfabe ve 2. sesli harftir. Birine dişlerimizi gösterdiğimizde söylediğimiz şey bu. Ancak matematikçiler bunu Euler sabiti olarak kabul ederler . π , i, Φ , sqrt{2}, vb. gibi diğer önemli matematiksel sabitlerin yanında duran bu sabit, irrasyonel sayının değeri 2,718281828459045235……

Matematiksel sabitlerin çoğu geometriktir. Örneğin, π, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır, sqrt{2}, bacakları birliği ölçen dik açılı bir üçgenin hipotenüsünün uzunluğudur. Ancak “e”, geometri veya herhangi bir şekil tarafından tanımlanmayan bir sabittir. Büyüme veya değişim hızına dayalıdır. Ama nasıl?

17. yüzyıla geri dönelim, Jacob Bernoulli'nin bileşik faiz üzerinde çalıştığı, yani paranızdan faiz elde ettiği dönem.

Diyelim ki bir bankanın parçasısınız, çok cömert bir bankasınız. Diyelim ki bankaya ₹ 1 verdiniz ve banka yıllık %100 faiz verdi. (Gerçekten çok cömert bir banka). Yani şimdi, yılın sonuna doğru ₹2 olacak. Yani, 6 ayda bir %50 faiz kazanırsanız, aynı tutar olan ₹2 ile mi sonuçlanacaksınız? Ya da bundan daha fazlası? ya da daha az? Hesaplayıp görelim değil mi?

Peki, bu gösteriyor ki, 6 ayda bir %50 faiz alırsanız, yıllık %100 faize sahip olmaktan daha fazlasını kazanmanıza yardımcı olacaktır. Peki ya her ay 1/12 faiz alırsan?

O zaman olacak,

Haftalık faizin 1/52'si verilirse, son tutarınız,

Her gün 1/365 faize ne dersiniz, o zaman yıl sonuna doğru bankaya ₹1 verdikten sonraki tutarınız,

Saatte, dakikada, saniyede, hatta her milisaniyede kazandığınız para miktarını da benzer şekilde hesaplayabilirsiniz!

Peki, ne gözlemliyorsunuz? Değer, genel formül kullanılarak n arttıkça hesaplanır.

Böylece, n'nin değeri arttıkça değerin belirli bir değere yaklaştığını fark edebilirsiniz. Bu “e” değeridir.

Ancak Jacob Bernoulli sabitin değerini hesaplamadı. Sadece değerinin 2 ile 3 arasında olacağını biliyordu. Sonunda bu sabiti hesaplayan ve bunun irrasyonel olduğunu kanıtlayan Euler oldu. Değeri hesaplamak için bir formül kullandı,

Ama başka bir formül. Aşağıdaki formülü kullandı.

Bu devam eden bir kesirdir . Sonsuza gittiği için, bu kesrin bir modeli olduğunu söyleyebilirsiniz, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Yani sonsuza kadar giderse, o halde, irrasyonel bir kesirdir. Eğer sona ermiş olsaydı, kesir olarak yazabileceğiniz için rasyonel olurdu. Böylece, bu "e" nin irrasyonel bir sabit olduğunu kanıtlar.

"e" değerini hesaplamak için Euler farklı bir formül kullandı. Yani,

“e”, büyümenin doğal dilidir, hesabın doğal dilidir. Neden?

Yukarıda verilen şekil e^x'in grafiğini göstermektedir. Şimdi, bir e^x grafiğinin özelliği şu ki, grafikte herhangi bir noktayı alırsanız, o noktanın değeri e^x, o noktadaki eğim e^x ve o noktadan itibaren grafiğin altındaki alan olur. -∞'dan itibaren de e^x'tir. Böylece, e^x'i bütünleştirdiğinizde veya türevlediğinizde, e^x'in kendisini elde edersiniz. Bu sabit “e”, matematikte çok güçlü bir araç oluşturur.

Euler sabiti “e”nin matematikteki bazı büyük sabitleri tek bir formülde, yani -1'in kökü olan i, π, 1 ve 0'da bir araya getirdiği de bilinir. Matematikte güzel denklem:

Gelecek bir makalede bu denklem hakkında daha fazla yazacağım.