Constante de Feigenbaum

Mon dernier article était une très courte introduction à la théorie du chaos où j'ai principalement écrit sur l' effet papillon , c'est-à-dire le concept à partir duquel la théorie du chaos a commencé. J'avais précédemment discuté du graphique de la population dans un de mes articles . J'ai décrit le graphique comme une fractale appelée "le figuier". J'avais également mentionné que les fractales faisaient partie de la théorie du chaos. Alors, comment le chaos forme-t-il finalement ce graphe ?

Il y a une constante vraiment célèbre qui est mentionnée avec d'autres constantes mathématiques célèbres telles que π, sqrt{2}, e, i, etc. Personnellement, je n'en avais jamais entendu parler auparavant, jusqu'à récemment. Cette constante est appelée la « constante de Feigenbaum », sa valeur étant δ = 4,6692016……., ce qui signifie qu'elle est irrationnelle comme π ou e. Il existe deux constantes de Feigenbaum. L'autre appelé est symbolisé par α, mais c'est une autre histoire dont je ne parlerai pas dans cet article.

Vers les années 1970, un scientifique nommé Robert May , a écrit un article dans lequel il avait écrit une équation qui modélisait la croissance démographique. L'équation est la suivante :

En cela, x_(n+1) est la population de l'année prochaine, x_n est la population actuelle et λ est la fécondité. Cette équation est une carte logistique ou simplement une fonction de croissance démographique. Donc, fondamentalement, en utilisant cette équation, nous pouvons prédire ce que sera la population d'une communauté l'année prochaine. J'ai dit que λ est comme la fécondité de la population. Donc, si sa valeur est élevée, il y a une forte reproduction, mais si elle est faible, alors il y a une faible reproduction. La valeur de λ est comprise entre 0 et 1 où, 0 signifie aucune reproduction et 1 signifie une reproduction complète.

Maintenant, les scientifiques qui s'intéressaient à la croissance démographique ont itéré ce graphique pour observer la variation de la population dans le futur. Dans le RHS ou le côté droit de l'équation donnée, x_n est la vie, tandis que (1 - x_n) est la mort.

D'accord. Prenons maintenant n'importe quelle valeur pour x_1. Soit 0,5, c'est-à-dire que la population soit de moitié. Je prends la valeur de λ comme 2,3.

Ainsi, si nous calculons la population des années suivantes à l'aide de l'équation, c'est-à-dire que x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, sera

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, respectivement.

Vous pouvez observer que la valeur est devenue constante. En d'autres termes, la croissance démographique s'est stabilisée. C'est ce qu'on appelle le point fixe dans l'itération.

Que se passe-t-il si nous changeons λ. Choisissons un λ qui est très petit, quelque part entre 0 et 1. Disons 0,65. Intuitivement, ce qui se passera si la fécondité est très faible est évident. Mais, calculons toujours en conservant x_1 comme 0,5. Comme j'ai calculé x_2, x_3, x_4….. voici les valeurs que j'ai calculées.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,00002

La population est morte.

Que se passerait-il si je prenais une valeur de fertilité plus élevée, disons 3,2 ?

Je l'ai recalculé avec x_1 comme 0,5, après de nombreuses itérations, j'ai remarqué que les valeurs continuaient comme,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304,….. La population est stable, mais, stable à 2 valeurs.

Maintenant, je vais prendre une valeur soigneusement choisie de λ, qui est de 3,5.

Avec x_1 comme 0,5, en parcourant à nouveau les calculs, j'ai remarqué que les valeurs, après de nombreuses itérations, continuaient comme,

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.0.80.0.0.87499, 0.3.8282, 5

Cette fois, la valeur est stable à 4 valeurs.

Faisons maintenant des graphiques à partir de tous les cas que nous avons vus.

a) Lorsque la population est devenue stable

b) Quand la population est morte

c) Lorsque la population oscille entre deux valeurs

d) Lorsque la population oscillait entre quatre valeurs

Maintenant, avec les résultats que nous avons, nous allons tracer un graphique avec λ sur l'axe des x et la population sur l'axe des y. Voici ce que vous obtiendriez :

Lorsque λ = 3,2, nous avions deux valeurs itératives. Ainsi, vous remarquerez que le graphique y bifurque. "Bifurquer" est juste une façon sophistiquée de dire que le graphique bifurque. De même, à environ 3,5, il se divise à nouveau en quatre. Cela continue, mais à un rythme beaucoup plus rapide. Le graphique bifurquerait encore plus rapidement, maintenant, à de très petits changements de λ lui-même. Au bout d'un moment, le graphique montre quelque chose d'extraordinaire alors que nous allons plus à droite. Mais, avant cela, permettez-moi de définir ce avec quoi j'avais commencé cet article, la constante de Feigenbaum.

Comme le montre le diagramme ci-dessus, si je prends deux longueurs consécutives de chaque bifurcation du graphique et que je trouve son rapport, vous recevrez une valeur irrationnelle constante, 4,6692016…….

C'est la constante de Feigenbaum. Cela signifie que la longueur d'une bifurcation est de 4,6692016……. fois plus petite que la précédente. Feigenbaum a découvert que si vous prenez une équation quadratique comme l'équation de la population, vous pouvez créer un graphique de doublement de période en jouant simplement avec les paramètres. Et, en prenant le rapport des longueurs de deux bifurcations consécutives, vous obtiendriez le même nombre pour n'importe quelle équation quadratique.

Voici le sort du graphique après environ λ = 3,59.

Le graphique devient fou, ou plutôt chaotique. Bien que ce graphique ait été découvert avant même que la théorie du chaos ne soit connue. Cette constante et ce graphe ont donc été beaucoup utilisés lors de son étude. Le chaos est sensible aux conditions initiales qui produisent des changements massifs, comme l'explique l'effet papillon. De même, ici, un très petit changement de λ peut provoquer des changements fous dans le graphique. Avec l'effet papillon, ce fut le début de la théorie du chaos.