Obiettivo di questo articolo: definire e calcolare numericamente questo valore. La costante farebbe apparizioni in matematica.

Conoscenze presunte: Integrazione (Calcolo), Concetto di convergenza

Definizione

Conosciuta anche come costante di Eulero (da non confondere con e = 2.718281828459045…), la costante di Eulero-Mascheroni che è denotata dalla gamma minuscola (γ) è definita come,

"Il limite come n → ∞ della differenza tra la serie armonica e il logaritmo naturale di n ."

O,

Questa costante con un valore di circa γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992... esiste. Ma non si sa ancora se la costante sia trascendentale o algebrica. Infatti non si sa nemmeno se γ sia razionale o irrazionale.

Se questa costante è razionale, il denominatore deve essere maggiore di 10²⁴²⁰⁸⁰.

Calcolo del valore di γ

Sostituiamo vari valori di n nell'equazione sopra definita di γ,

Possiamo vedere qui che man mano che n aumenta e diventa sempre più grande, oppure, poiché tende all'infinito, il valore si avvicina al valore inizialmente definito di questa costante. Questo numero è la costante di Eulero-Mascheroni .

Rappresentazione grafica di γ

L'area arancione sotto la curva y = 1/ x è la funzione logaritmica naturale. Questo perché l'integrazione o l'area sotto il grafico y = 1/x è ln x .

L'area verde delle barre è la rappresentazione grafica della serie armonica.

La differenza tra queste due aree ombreggiate dai punti blu (sotto) rappresenta la costante di Eulero-Mascheroni,

Prova di convergenza

Sappiamo che quando n tende all'infinito, la funzione che definisce la costante di Eulero-Mascheroni converge ad un certo valore costante. Ma come possiamo dimostrare questa convergenza senza alcuna forza bruta?

Quindi, sappiamo che,

Dove,

Prendiamo,

che fornisce la costante quando n tende all'infinito.

Per dimostrare la convergenza, lo faremo

1. Dimostra che la sequenza è decrescente e poi,
2. Dimostrare che è limitato .

Ora, esprimendo ln⁡(1 +x ) usando la serie di Taylor ,

Prendendo x = -1/ n ,

Usando (3) in (2),

Così,

Quindi, la sequenza è monotonicamente strettamente decrescente .

II. LA SEQUENZA È LIMITATA

a) Limite superiore della sequenza

Poiché ora sappiamo che la sequenza è strettamente decrescente, il primo termine della sequenza sarebbe il termine più grande.

Quindi il primo termine è

Quindi il limite superiore è 1 .

a) Limite inferiore di sequenza

Lo sappiamo,

Questo può essere scritto come,

Adesso,

Possiamo definire e^x come

Se omettiamo il caso in cui x = 0,

Così,

Prendendo il tronco naturale su entrambi i lati,

Da (5),

Sommando su entrambi i lati,

Da (4),

Aggiungendo H_n su entrambi i lati dell'equazione,

O,

Quindi il limite inferiore è 0.

Pertanto, G_n è una sequenza monotonicamente strettamente decrescente con limiti,

Quindi, la successione converge ad un limite γ , tale che, 0 < γ < 1.

Il limite della successione G_n per n → ∞ è la costante di Eulero — Mascheroni .