Equações de Cauchy-Riemann

Objetivo deste artigo: Mostrar o contraste do conceito de diferenciabilidade para funções reais e de valores complexos.

Conhecimentos assumidos: Cálculo básico, propriedades dos números complexos.

Diferenciabilidade real

Definição: Uma função f é diferenciável em x se o seguinte limite existe,

Quando não existe limite ?

• Quando o limite aproximando-se pela direita não for igual ao limite aproximando-se pela esquerda (RHL =/= LHL) ou,
• Quando existe uma assíntota vertical (ou seja, o limite é infinito e a tangente do gráfico tem inclinação infinita)

• Quando os limites à direita e à esquerda não são iguais: isso significa que a função não é contínua ou seu gráfico tem cantos agudos.
• Quando o limite é infinito ou a inclinação da tangente naquele ponto é infinita, isso significa que há uma linha vertical no gráfico ou há uma assíntota vertical.

• não contínua ,
• tem bordas afiadas
• seu gráfico consiste em uma linha vertical (ou tem uma assíntota vertical),

A diferenciabilidade implica continuidade . Mas, o inverso não é verdade. Continuidade não implica diferenciabilidade . Portanto, a continuidade de uma função é condição necessária para a diferenciabilidade, mas não é condição suficiente.

Agora, tudo acima é para funções de uma variável. E quanto à diferenciabilidade de funções com múltiplas variáveis? Este conceito é uma parte do cálculo multivariável e as funções aqui são consideradas diferenciáveis ​​' reais '.

No cálculo multivariável, a continuidade de derivadas parciais implica diferenciabilidade . Então, essencialmente, se uma função é dita ser real diferenciável , então suas derivadas parciais existem e é contínua. (Esta é uma simplificação massiva de todas as provas e teoremas no cálculo multivariável que finalmente levam a este resultado, mas veremos isso em um artigo futuro.)

Diferenciabilidade complexa

Definição: Seja Ω um subconjunto aberto do plano complexo ( C ) e seja z um ponto complexo no domínio Ω. Dizemos que uma função f : Ω → C é diferenciável complexa em z se o seguinte limite existe,

Denotamos o limite por f '(z) e o chamamos de derivada de f em z.

No cálculo multivariável, a derivada de uma função real é um mapa linear de R ^n a R ^k. Neste caso, cada ponto é composto por uma parte real e imaginária, o que significaria que a derivada seria de R ^2 a R ^2, correspondendo a uma matriz 2 por 2 e assim obtemos um número complexo.

Antes de estudar como conciliar essa diferença, veremos as consequências da definição para a parte real e imaginária de f . Vamos escrever h = Δx+iΔy , e f (z) = u(z)+iv(z), que também podemos pensar como

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) .

Então, Re( f ) = u(x, y) e Im( f ) = v(x, y)

Então o quociente na definição de derivada complexa pode ser reescrito como,

Poderíamos considerar várias maneiras de enviar Δx+iΔy para zero, obtendo a mesma resposta se o limite existir.

Vamos considerar as duas opções óbvias, enviando Δx primeiro para zero seguido de Δy, e o inverso, Δy primeiro seguido de Δx. Nós achamos,

Isso significa imediatamente que, no mínimo, precisamos exigir que algumas relações entre as derivadas parciais de u e v sejam válidas para termos uma diferencial complexa. Nomeadamente,

Essas equações são conhecidas como equações de Cauchy-Riemann .

Estas são condições claramente necessárias, mas neste ponto de forma alguma garantem que um diferencial complexo existiria se satisfeito.

Agora usaremos as equações de Cauchy-Riemann e conectaremos a diferenciabilidade complexa com a dependência da função no conjugado complexo de z (z bar).

Considere f (z) como dado por u(x, y)+iv(x, y). Usando o fato de que,

podemos reescrever a função de volta em termos de z e ¯z. Agora, poderíamos considerar a derivada de f em relação a ¯z. Aplicando a regra da cadeia obteríamos,

que podemos simplificar para,

Observe que se a função for diferenciável complexa, ela satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, portanto, a expressão acima é identicamente zero. Nesse sentido, dizemos que se uma função é diferenciável complexa, então

As duas equações acima também podem ser escritas como,

Em seguida, também podemos definir,

Embora df / d z faça sentido para f meramente diferenciável real , se f também for diferenciável complexo em z

então descobrimos que,

então agora as equações de Cauchy-Riemann podem ser simplesmente escritas como,

f ser diferenciável complexo é muito mais forte do que f ser diferenciável real. Isso ocorre porque f sendo diferenciável complexo é equivalente ao par de condições que f é diferenciável real E que as equações de Cauchy-Riemann mantêm .

Assim, como a continuidade é uma condição necessária, mas insuficiente para funções diferenciáveis ​​reais, o mesmo ocorre com as equações de Cauchy-Riemann para funções diferenciáveis ​​complexas. É uma condição necessária, mas não suficiente para mostrar que a função f é diferenciável complexa.

MA259 Multivariable Calculus (2020–21), MA244 Analysis III (2020–21) e MA3B8 Complex Analysis (2021–22) notas de aula da Universidade de Warwick referenciadas e usadas para estudo e pesquisa para escrever este artigo.