Meu irmão está na 10ª série, pensei em fazer um para os outros se beneficiarem.

Fatoração quadrática

As equações quadráticas são um tipo importante de equação matemática que tem muitas aplicações em ciência, engenharia e outros campos. Uma equação quadrática é uma equação da forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes e x é uma variável. Essas equações têm duas soluções, conhecidas como raízes ou zeros da equação.

As equações quadráticas são importantes porque fornecem uma maneira de modelar muitos fenômenos do mundo real, como o movimento de objetos, o crescimento de populações e o comportamento de circuitos elétricos. Ao resolver equações quadráticas, podemos obter insights sobre esses fenômenos e tomar decisões mais informadas em nossos estudos e em nossas carreiras.

Um método comum para resolver equações quadráticas é conhecido como fatoração quadrática. Esse método envolve expressar a equação quadrática na forma (x — r_1)(x — r_2) = 0, onde r_1 e r_2 são as raízes da equação. Podemos então resolver para x definindo cada fator igual a 0 e resolvendo para x.

Aqui estão alguns exemplos de como resolver equações quadráticas usando fatoração quadrática, juntamente com suas soluções:

• Resolva a equação quadrática x² — 2x + 1 = 0.

• Resolva a equação quadrática 2x² — 5x + 2 = 0.

• Resolva a equação quadrática 4x² — 5x + 1 = 0.

• Resolva a equação quadrática 3x² + 2x + 1 = 0.

Mais exemplos

Resolva a equação quadrática 2x² — 5x + 2 = 0.

• Para resolver esta equação, podemos usar a técnica de fatoração de diferença de quadrados para escrevê-la como (x — 1)(x — 2) = 0. Definir cada fator igual a 0 e resolver para x nos dá as soluções x = 1 e x = 2.
• Resolva a equação quadrática 4x² — 5x + 1 = 0.

• Resolva a equação quadrática 3x² + 2x + 1 = 0.

Resolvendo Equações Quadráticas

Observe que sqrt significa raiz quadrada,

Resolver equações quadráticas é o processo de encontrar soluções para equações da forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes e x é uma variável. Essas equações são chamadas equações quadráticas porque a maior potência da variável x é 2.

As equações quadráticas têm duas soluções, conhecidas como raízes ou zeros da equação. Essas soluções podem ser encontradas usando vários métodos, como fatorar, completar o quadrado ou usar a fórmula quadrática.

Resolver equações quadráticas é uma habilidade importante em muitas áreas da matemática, incluindo álgebra, geometria e cálculo. Ele nos permite modelar e analisar muitos fenômenos do mundo real, como o movimento de objetos, o crescimento de populações e o comportamento de circuitos elétricos. Ao dominar as técnicas para resolver equações quadráticas, podemos obter insights valiosos e tomar decisões mais informadas em nossos estudos e em nossas carreiras.

1- Resolva a equação de segundo grau 2x² — 5x + 2 = 0.

Para resolver esta equação, podemos usar a fórmula quadrática, que é

x = (-b +/- sqrt(b² — 4ac)) / 2a.

Nesse caso, a = 2, b = -5 e c = 2, então a fórmula se torna

x = (-(-5) +/- quadrado((-5)² — 4(2)(2))) / 2(2)

= 5 +/- quadrado(25–16)

= 5 +/- quadrado(9)

= 5 +/- 3.

Portanto, as soluções para a equação são x = 5 + 3 = 8 e x = 5–3 = 2.

• Resolva a equação quadrática 4x² — 5x + 1 = 0. Para resolver essa equação, podemos usar a fórmula quadrática, que é

Nesse caso, a = 4, b = -5 e c = 1, então a fórmula se torna

x = (-(-5) +/- quadrado((-5)² — 4(4)(1))) / 2(4)

= 5/4 +/- quadrado(25–16) / 4

= 5/4 +/- quadrado(9) / 4

= 5/4 +/- 3/4.

Portanto, as soluções para a equação são x = 5/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2 ex = 5/4–3/4 = 2/4 = 1/2.

2- Resolva a equação quadrática 3x² + 2x + 1 = 0. Para resolver esta equação, podemos usar a fórmula quadrática, que é x = (-b +/- sqrt(b² — 4ac)) / 2a.

Nesse caso, a = 3, b = 2 e c = 1, então a fórmula se torna

x = (-2 +/- quadrado(2² — 4(3)(1))) / 2(3)

= -1 +/- quadrado(4–12) / 6

= -1 +/- quadrado(-8) / 6

= -1 +/- i*2/6.

Portanto, as soluções da equação são

x = -1 + i 2/6 = -1 + i/3 ex = -1 — i 2/6 = -1 — i/3.

Gráficos quadráticos

Para representar graficamente uma equação quadrática, primeiro precisamos encontrar alguns pontos que satisfaçam a equação. Isso pode ser feito inserindo diferentes valores de x na equação e resolvendo para y. Depois de encontrar alguns pontos, podemos plotá-los em um plano de coordenadas e conectá-los com uma curva suave para formar o gráfico da equação.

Por exemplo, considere a equação quadrática y = x² — 2x + 1. Para fazer o gráfico dessa equação, podemos inserir diferentes valores de x na equação e resolver para y. Por exemplo, se x = -2, então y = (-2)² — 2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9. Portanto, o ponto (-2, 9) está no gráfico. Podemos repetir esse processo para alguns outros valores de x para encontrar mais pontos. Por exemplo:

• x = -1, y = (-1)² — 2(-1) + 1 = 1–2 + 1 = 0, então o ponto (-1, 0) está no gráfico.
• x = 0, y = (0)² — 2(0) + 1 = 0–0 + 1 = 1, então o ponto (0, 1) está no gráfico.
• x = 1, y = (1)² — 2(1) + 1 = 1–2 + 1 = 0, então o ponto (1, 0) está no gráfico.

O gráfico é uma parábola que tem concavidade para cima e tem seu vértice no ponto (0, 1).

A forma e a direção da parábola dependem dos coeficientes da equação quadrática. Por exemplo, se o coeficiente de x² for positivo, a parábola tem concavidade ascendente e tem um ponto mínimo. Se o coeficiente de x² for negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo e tem ponto máximo. O coeficiente de x determina a direção do vértice, e o termo constante determina o deslocamento vertical do gráfico.