Basit Kanıt

Bir çift sayı artı bir çift sayı çift sayı yapar.

Bir tek sayı artı bir tek sayı tek bir sayı yapar.

Bir tek artı bir çift tek eder.

Bu basit kural size muhtemelen ilkokulda öğretilmişti. Ben ... idim. Ve bu doğru gibi görünüyor. Birkaç farklı sayı ile birkaç kez deneyin ve her zaman işe yarar. (Çalışmadıysa çalışmanızı kontrol edin. Yine çalışmıyorsa yayınlayın.)

Ama tüm sayılar için çalışıyor mu? Ne kadar büyük olursa olsun?

Genellikle okulda öğretilen matematik ile matematikçilerin yaptığı matematik arasındaki fark şudur:

1. Okulda, 'matematik yaparken' kullanabilmemiz için bize bu tür kurallar öğretilir.
2. Matematikçiler kuralların ne olduğunu keşfetmeye çalışırlar ve bu kuralların neden doğru (ya da yanlış) olduğunu göstermek için mümkün olan en özlü, zarif argümanları bulurlar.

Paul Lockhart'ın A Mathematician's Lament adlı makalesinde ikna edici (ve esprili bir şekilde) tanımladığı gibi, gerçeği bulma sanatı hem gerçek matematik hem de çok eğlencelidir. Ve bazen okulda öğretilen resmi, katı kanıtlar olmak zorunda değildir. Bu sadece kalıpları aramak ve zarif bir tartışma yapmakla ilgili.

Genç öğrencilere tek ve çift sayıların toplamları hakkında kurallar anlatmak yerine, önce onlardan kuralların ne olabileceğini bulmalarını istesek ve sonra bunun neden bir kural olduğuna dair bir açıklama bulmalarını istesek ne olur?

Pek çok olası çözümden yalnızca biri olan bir "kanıta" dönüşebilecek düşünme türüne bir örnek:

İlk olarak, soyut rakamlarla değil, somut nesnelerle, bu durumda karelerle sayalım. İşte beş kare:

[keyfi olarak yerleştirilmiş birkaç karenin resmi]

Çift sayı ikiye bölünebileceği anlamına geldiğinden, çift sayıda kareyi aynı uzunlukta iki sıra halinde düzenleyebileceğimizi ve uçların 'kare' olacağını biliyoruz:

Öte yandan, tek bir sayı, satırların hizalanmadığı yerde her zaman 'düzensiz' bir uca sahip olacaktır:

Bu resimleri yeniden düzenleyerek, artık kurallarımızın doğru göründüğünü görebiliriz. Uç uca dizilmiş iki çift sayının çift uçları vardır.

Bir tek sayıyı ters çevirip iki düzensiz ucu birbirine yapıştırarak, iki tek sayının da çift uçları olur.

Ama bir tek ve bir çift, nasıl çevirip döndürürsek döndürelim, bize asla çift uç vermez.

Sayılarımız ne kadar uzun olursa olsun bu doğru olacaktır, çünkü önemli olan tek şey uçların pürüzlü mü yoksa kare mi olduğudur. (Bu şimşek gibi şeyler, keyfi bir mesafe önermek içindir… orada binlerce kare olduğunu hayal edin.)

QED

Bu geçerli bir matematiksel kanıt mı? Önemli mi? Bu tür 'kanıtları' düşünmek için zaman harcayan bir çocuk veya bir grup çocuk, hiçbir ezberci alıştırmanın onlara vermeyeceği bir matematik anlayışı ve belki de matematik için bir coşku geliştirecektir. Daha da önemlisi, “ne yapacağınızı bilmediğinizde ne yapacağınızı” öğrenmeye başlayacaklar. Yani, sadece sahip olduğunuz problemlerin adımlarını takip etmek yerine, daha önce görmediğiniz problemleri çözme güveni.