A área de um círculo

É um fato bem conhecido que a área de um círculo é πr². Existem alguns métodos para provar essa ideia. Deixe-me apresentar a você outra maneira de pensar sobre círculos.

A imagem acima mostra um polígono regular de 30 lados. Não está quase parecendo um círculo?

Esta é a propriedade que vamos explorar para descobrir a área de um círculo. Mas antes de chegarmos a isso, é importante que estabeleçamos algumas ideias criando um baú de ferramentas.

Caixa de ferramentas:

• Área de um triângulo isósceles = (1/2)*(a²sinθ)
• lim (sen x)/x (x → 0) = 1
• 180° = π radianos

onde ,
n — número de lados
a — comprimento dos dois lados iguais do triângulo
θ — ângulo entre os dois lados iguais do triângulo
A — área do polígono regular de n lados

Um ponto importante a ser observado é que 'θ' também pode ser escrito como 360°/n. Pense por que isso é verdade. Além disso, para um círculo, ' a' é chamado de raio.

Seguindo em frente, o que acontece se n for para ∞? Deixe-nos ver:

A expressão acima pode ser modificada um pouco multiplicando e dividindo por (360/n). Ele se reduz à forma de lim (sin x)/x (x → 0) = 1 de nossa caixa de ferramentas.

Finalmente, depois de cancelar n no numerador e no denominador, ficamos com:

Mas, 180° = π radianos de nossa caixa de ferramentas. Assim, a área do círculo é:

Esta prova cria uma nova questão em nossas mentes - podemos provar que a circunferência de um círculo é 2πr usando o mesmo método?
Tente pensar se é possível ou não e por quê.