No thriller mega-best-seller de 2003 de Dan Brown "O Código Da Vinci", há um pouco de réplica no livro entre o herói do livro, Robert Langdon, e a criptógrafa Sophie Neveu, no qual ela expressa ceticismo sobre o valor "dos crentes religiosos que vivem por religiões que incluem ocorrências milagrosas. Parece que sua realidade é falsa ", ela zomba.
Langdon ri e diz que essas crenças não são mais falsas "do que a de um criptógrafo matemático que acredita no número imaginário 'i' porque ele a ajuda a decifrar códigos".
Para aqueles de nós que não têm inclinação para a matemática , a piada de Langdon foi um pouco enigmática. Do que diabos ele está falando quando diz que um número é imaginário? Como poderia ser?
Acontece que um número imaginário - basicamente, um número que, quando elevado ao quadrado, resulta em um número negativo - é realmente uma coisa na matemática, descoberto pela primeira vez por volta de 1400 e 1500 como uma maneira de resolver certas equações perturbadoras. Embora inicialmente pensados como uma espécie de truque de salão, nos séculos desde então, eles passaram a ser vistos como uma ferramenta para conceituar o mundo de maneiras complexas e hoje são úteis em campos que vão da engenharia elétrica à mecânica quântica.
“Nós inventamos os números imaginários por alguns dos mesmos motivos pelos quais inventamos os números negativos”, explica Cristopher Moore . Ele é um físico do Santa Fe Institute , uma instituição de pesquisa independente no Novo México, e co-autor, com Stephan Mertens, do livro de 2011 " The Nature of Computation ".
"Comece com a aritmética comum", continua Moore. "Quanto é dois menos sete? Se você nunca ouviu falar em números negativos, isso não faz sentido. Não há resposta. Você não pode ter cinco maçãs negativas, certo? Mas pense desta forma. Você poderia me dever cinco maçãs, ou cinco dólares. Depois que as pessoas começaram a fazer contabilidade e escrituração, precisávamos desse conceito. " Da mesma forma, hoje estamos todos familiarizados com a ideia de que se emitirmos cheques grandes para pagar as coisas, mas não tivermos dinheiro suficiente para cobri-las, podemos ter um saldo negativo em nossas contas bancárias.
O pensamento criativo vai longe
Outra maneira de olhar para os números negativos - e isso será útil mais tarde - é pensar em andar por um bairro da cidade, diz Moore. Se você fizer uma curva errada e na direção oposta de nosso destino - digamos, cinco quarteirões ao sul, quando você deveria ter ido para o norte - você pode pensar nisso como caminhar cinco quarteirões negativos ao norte.
"Ao inventar números negativos, ele expande seu universo matemático e permite que você fale sobre coisas que antes eram difíceis", diz Moore.
Números imaginários e números complexos - ou seja, números que incluem um componente imaginário - são outro exemplo desse tipo de pensamento criativo. Como Moore explica: "Se eu perguntar a você, qual é a raiz quadrada de nove, isso é fácil, certo? A resposta é três - embora também possa ser três negativos", já que multiplicar dois negativos resulta em um positivo .
Mas qual é a raiz quadrada de um negativo? Existe um número, quando multiplicado por ele mesmo, que resulta em um negativo? “Em um nível, esse número não existe”, diz Moore.
Mas os matemáticos da Renascença descobriram uma maneira inteligente de contornar esse problema. "Antes de inventarmos os números negativos, não existia tal número que fosse dois menos sete", continua Moore. "Então, talvez devêssemos inventar um número que seja a raiz quadrada de um negativo. Vamos dar um nome a ele. I. "
Assim que surgiram com o conceito de número imaginário, os matemáticos descobriram que podiam fazer coisas muito legais com ele. Lembre-se de que multiplicar um número positivo por um negativo é igual a um negativo, mas multiplicar dois negativos um pelo outro é igual a um positivo. Mas o que acontece quando você começa a multiplicar i vezes sete e depois por i novamente? Como i vezes i é um negativo, a resposta é sete negativo. Mas se você multiplicar sete vezes i vezes i vezes i vezes i , de repente você obtém sete positivo. "Eles se cancelam", observa Moore.
Agora pense sobre isso. Você pegou um número imaginário, conectou-o a uma equação várias vezes e acabou com um número real que você normalmente usa no mundo real.
Números imaginários são pontos em um avião
Somente algumas centenas de anos depois, no início de 1800, os matemáticos descobriram outra maneira de entender os números imaginários, pensando neles como pontos em um plano, explica Mark Levi . Ele é professor e chefe do departamento de matemática da Penn State University e autor do livro de 2012 "Por que os gatos pousam em seus pés: e 76 outros paradoxos físicos e quebra-cabeças".
Quando pensamos nos números como pontos em uma linha e, em seguida, adicionamos uma segunda dimensão, "os pontos nesse plano são os números imaginários", diz ele.
Visualize uma linha numérica. Quando você pensa em um número negativo, ele está a 180 graus dos números positivos da linha. “Quando você multiplica dois números negativos, adiciona seus ângulos, 180 graus mais 180 graus, e obtém 360 graus. É por isso que é positivo”, explica Levi.
Mas você não pode colocar a raiz quadrada de um negativo em qualquer lugar do eixo X. Simplesmente não funciona. No entanto, se você criar um eixo Y perpendicular ao X, agora você tem um lugar para colocá-lo.
E embora os números imaginários pareçam apenas um monte de confusão matemática, eles são na verdade muito úteis para certos cálculos importantes no mundo tecnológico moderno, como calcular o fluxo de ar sobre a asa de um avião ou descobrir o dreno de energia da resistência combinada com a oscilação em um sistema elétrico. E o fictício Robert Langdon não estava brincando quando mencionou que eles também são usados em criptografia.
Números complexos com componentes imaginários também são úteis na física teórica, explica Rolando Somma , um físico que trabalha com algoritmos de computação quântica no Laboratório Nacional de Los Alamos.
“Devido à sua relação com funções trigonométricas, são úteis para descrever, por exemplo, funções periódicas”, diz Somma por e-mail. "Eles surgem como soluções para as equações das ondas, então usamos números complexos para descrever várias ondas, como uma onda eletromagnética. Assim, como na matemática, o cálculo complexo na física é uma ferramenta extremamente útil para simplificar os cálculos."
Os números complexos também desempenham um papel na mecânica quântica, uma teoria que descreve o comportamento da natureza na escala dos átomos e das partículas subatômicas.
"Na mecânica quântica, o 'i' aparece explicitamente na equação de Schrödinger ", explica Somma. "Assim, os números complexos parecem ter um papel mais fundamental na mecânica quântica, em vez de servir apenas como uma ferramenta de cálculo útil."
"O estado de um sistema quântico é descrito por sua função de onda", continua ele. "Como uma solução para a equação de Schrõdinger, esta função de onda é uma superposição de certos estados, e os números que aparecem na superposição são complexos. Fenômenos de interferência na física quântica, por exemplo, podem ser facilmente descritos usando números complexos."
Agora isso é interessante
Números imaginários também são mencionados no romance de 2012 de Thomas Pynchon " Against the Day ".
