Prova Simples

Um número par mais um número par forma um número par.

Um número ímpar mais um número ímpar forma um número ímpar.

Um ímpar mais um par resulta em um ímpar.

Você provavelmente aprendeu essa regra simples na escola primária. Eu era. E parece ser verdade. Tente algumas vezes, com alguns números diferentes, e sempre funciona. (Se não funcionar, verifique seu trabalho. Se ainda não funcionar, publique.)

Mas isso funciona para todos os números? Não importa o quão grande?

A diferença entre a matemática que geralmente aprendemos na escola e a matemática que os matemáticos praticam é esta:

1. Na escola, aprendemos esse tipo de regras para que possamos usá-las ao 'fazer matemática'.
2. Os matemáticos tentam descobrir quais são as regras e apresentam os argumentos mais concisos e elegantes possíveis para mostrar por que essas regras são (ou não) verdadeiras.

Como Paul Lockhart descreve persuasivamente (e com humor) em seu ensaio A Mathematician's Lament, a arte de encontrar a verdade é matemática verdadeira e muito divertida. E não precisam ser as provas formais e rígidas que às vezes são ensinadas na escola. Trata-se apenas de procurar padrões e fazer um argumento elegante.

Em vez de dizer aos jovens alunos regras sobre somas de números ímpares e pares, e se primeiro pedíssemos a eles que descobrissem quais seriam as regras e depois pedíssemos que apresentassem uma explicação de por que é uma regra?

Aqui está um exemplo do tipo de pensamento que pode entrar em uma 'prova', que é apenas uma das muitas soluções possíveis:

Primeiro, vamos contar não com dígitos abstratos, mas com objetos tangíveis, neste caso quadrados. Aqui estão cinco quadrados:

[imagem de vários quadrados colocados arbitrariamente]

Como um número par significa que pode ser dividido por dois, sabemos que podemos organizar um número par de quadrados em duas linhas do mesmo comprimento, e as extremidades serão 'quadradas':

Um número ímpar, por outro lado, sempre terá um final 'irregular' onde as linhas não se alinham:

Reorganizando essas imagens, agora podemos ver que nossas regras parecem ser verdadeiras. Dois números pares, colocados de ponta a ponta, têm pontas pares.

Virando um número ímpar e juntando as duas pontas irregulares, dois números ímpares também têm pontas pares.

Mas um ímpar e um par, não importa como viramos e giramos, nunca nos dá pontas pares.

Isso será verdade, não importa o tamanho de nossos números, porque tudo o que importa é se as pontas são irregulares ou quadradas. (Essas coisas em forma de raio pretendem sugerir uma distância arbitrária... imagine que há milhares de quadrados ali.)

QED

Esta é uma prova matemática válida? Isso importa? Uma criança, ou um grupo de crianças, que passou o tempo pensando nesses tipos de 'provas' estará desenvolvendo uma compreensão e talvez um entusiasmo pela matemática que nenhuma quantidade de exercícios mecânicos lhes proporcionará. Mais importante, eles começarão a aprender “o que fazer quando você não souber o que fazer”. Ou seja, a confiança para resolver problemas que você nunca viu antes, ao invés de apenas seguir os passos dos problemas que você tem.