O fatorial de um inteiro não negativo, n ! , é definido como o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n .

Por exemplo, 3! = 6.

Como descobrir o número de zeros à direita do número 1000! ?

O cerne desse problema está em descobrir quantas vezes

ocorre na fatoração primária de 1000!.

Como uma estimativa aproximada, podemos deduzir que há mais 2s significativos na fatoração primária de 1000! do que 5s . Portanto, nossa tarefa é determinar o número de 5s que aparecem em sua fatoração primária.

Números que têm pelo menos um fator de 5:

Todos os múltiplos de 5 até 1000 têm pelo menos um fator de 5.

1000/5 = 200

Encontramos 200 fatores de 5.

Números que têm pelo menos dois fatores de 5:

Todos os múltiplos de 25 até 1000 têm dois fatores de 5. No entanto, um fator de 5 desses números foi contado na etapa anterior. Portanto, contamos apenas um fator extra de cada um desses números.

1000/25 = 40

Encontramos mais 40 fatores de 5.

Números que têm pelo menos 3 fatores de 5:

Todos os múltiplos de 125 até 1000 têm pelo menos três fatores de 5, dois dos quais já foram contados acima.

1000/125 = 8

Encontramos mais 8 fatores de 5.

Há um número com quatro fatores de 5:

Este é o fator final de 5.

Número Total de Zeros

Podemos verificar facilmente que há mais 2s como 1000/2 = 500.

QED

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