Thomas Bayes war Mathematiker , presbyterianischer Geistlicher und Verteidiger von Sir Isaac Newton . Heute wird er von Statistikern auf der ganzen Welt wegen eines Dokuments gefeiert, das zwei Jahre nach seinem Tod veröffentlicht wurde.
Bayes starb am 7. April 1761. Wie im Testament des Engländers vorgesehen, erhielt ein Freund und Kollege namens Richard Price seine unveröffentlichten Notizen. Dazu gehörte ein Teilessay über ein Thema, das uns immer wieder beschäftigt: Wahrscheinlichkeit.
Beeindruckt und fasziniert ließ Price 1763 eine bearbeitete Version unter dem Titel „An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances“ veröffentlichen.
Hier wurde der Grundstein für das gelegt, was wir heute als Bayes-Theorem (oder „Bayes-Regel“) bezeichnen, eines der am weitesten verbreiteten Werkzeuge in der modernen Statistik .
Krimskrams
„Die Bayes-Regel wird heute auf unzählige Arten verwendet. Sie gibt Ihnen ein Werkzeug, um klar über Unsicherheit nachzudenken (worin Jahrzehnte der kognitionswissenschaftlichen Forschung gezeigt haben, dass wir nicht besonders gut sind)“, sagt Chris Wiggins, außerordentlicher Professor an der Columbia University Angewandte Mathematik, in einem E-Mail-Interview.
Die tatsächliche Gleichung wird oben angezeigt. Kurz gesagt, das Ziel dieser Formel ist es, zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit von "A" ist, dass "B" bereits passiert ist oder beobachtet wurde.
Dazu müssen wir folgende Schritte unternehmen:
- Drehen Sie das Skript um: Legen Sie die Wahrscheinlichkeit von „B“ fest, vorausgesetzt, dass „A“ bereits passiert/beobachtet wurde.
- Multiplizieren Sie das mit der Gesamtwahrscheinlichkeit von "A".
- Teilen Sie die resultierende Zahl durch die Gesamtwahrscheinlichkeit von „B“.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist das Herzstück des Satzes von Bayes. Die Welt ist ein komplizierter Ort. Wenn wir versuchen, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, müssen wir unsere Berechnungen manchmal aufgrund neuer Informationen, neuer Entwicklungen und bereits vorhandener Daten überarbeiten.
Geben Sie den Satz ein. Egal, ob Sie ein Astrophysiker sind, der das Alter des Universums untersucht , oder ein Wildtierbiologe, der Populationsschätzungen für eine selten gesehene Art erstellt, das Theorem von Bayes kann Ihnen helfen, Ihre Sichtweise und Ihr Weltbild entlang dieser bedingten Linien zu aktualisieren.
Nun, da wir einige der Grundlagen kennen, lassen Sie uns die Formel von Mr. Bayes ausprobieren.
Richtig oder falsch?
Mediziner wissen, dass sie auf falsch positive Ergebnisse achten müssen .
Wenn ein Test Ihnen sagt, dass etwas vorhanden ist, obwohl es eigentlich nicht vorhanden ist, ist das ein falsch positives Ergebnis, Amigo. Der Hirtenjunge rief Wolf, aber er sah nicht wirklich einen.
True Positives sind Testergebnisse, die mit der Realität übereinstimmen. Sie sind das, was Sie bekommen, wenn ein Test einen Zustand aufdeckt, der wirklich existiert. In diesem Szenario ist der Wolf also echt und der Hirtenjunge hat die Wahrheit gesagt.
„Das Theorem von Bayes kann einen Einblick in die Leistungsfähigkeit diagnostischer Tests geben“, erklärt Lance Waller, Biostatistiker der Emory University, kürzlich in einem E-Mail-Austausch.
„Wenn wir in die Klinik gehen und uns testen lassen, wollen wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass ich krank bin , da der Test positiv ist. “
"Doktor Bayes ausrufen!"
Um zu erklären, wie Thomas Bayes in das Gespräch über falsch positive Ergebnisse bei medizinischen Tests passt, hat Waller eine hilfreiche Hypothese parat. Schauen Sie sich noch einmal unsere gedruckte Formel an. Sehen Sie die As und die Bs? Jetzt ist es an der Zeit, diese Buchstaben durch etwas weniger Abstraktes zu ersetzen.
„Angenommen, wir wenden einen Test an, der bei einer gesunden Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 100 ein falsch positives Ergebnis liefert, und derselbe Test hat bei einer kranken Person eine Wahrscheinlichkeit von 99 zu 100, ein richtig positives Ergebnis zu liefern“, sagt Waller.
„Wenn wir diesen Test auf 100 gesunde Menschen und 100 kranke Menschen anwenden, würden wir 1 falsch positives und 99 richtig positives Ergebnis erwarten. Wenn wir denselben Test bei 100.000 gesunden und 100 kranken Menschen durchführen würden, würden wir 1.000 falsch positive und 99 richtige Ergebnisse erwarten positiv. Die meisten unserer positiven Testergebnisse wären falsch.“
Das „Theorem von Bayes“, so Waller, „definiert, wie die Proportionen der getesteten Personen, die krank und gesund sind, die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests bei einer gesunden Person gegenüber der Wahrscheinlichkeit einer gesunden Person bei einem positiven Test verändern .“
Außerhalb des Labors
Das Theorem führte zur Bayesschen Statistik , einem breiteren Ansatz für Mathematik und Wahrscheinlichkeit.
Diese Denkschule hat im Laufe der Jahre ihren Anteil an Kritikern gehabt. Doch die Geschichte hat gezeigt, dass es einen Platz für bayesianisches Denken gibt. Wie Wiggins betont, verwenden Mathematiker heute andere Computerwerkzeuge – und suchen nach anderen Arten von Daten – als frühere Generationen.
„Manchmal verwenden wir Daten, um die Welt, wie sie ist, wissenschaftlich zu beschreiben, manchmal, um Vorhersagen über ein bestimmtes Ergebnis zu treffen, und manchmal, um die Behandlung vorzuschreiben, die ein Ergebnis optimiert“, sagt Wiggins. "Es ist daher keine Überraschung, dass sich auch die Normen darüber, was ein gutes Modell oder eine gute Modellierungspraxis ausmacht, weiterentwickelt haben."
In unserer computergesteuerten Kultur sind wir überall von Bayes'schen Methoden umgeben. Betrachten Sie elektronische Post. Einige E-Mail-Filter verwenden das Theorem von Bayes, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine einzelne Nachricht aufgrund ihrer Wortwahl unerwünschter Spam ist.
Oder schauen Sie sich an, wie die US-Küstenwache 2014 für Aufsehen sorgte , als eines ihrer Computerprogramme zur Rettung eines vermissten Fischers führte. Wie Sie vielleicht erraten haben, hat dieses Programm die Arbeit mit dem Satz von Bayes erledigt.
„Eine ‚Bayes'sche Analyse‘ bedeutet nicht immer eine bessere Analyse“, bemerkt Waller. "[Aber] da bayesianische Methoden detaillierte mathematische Definitionen erfordern, bietet eine bayesianische Analyse oft die Flexibilität, sich an ein breiteres Spektrum von Anwendungen anzupassen als herkömmliche Ansätze."
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Nun, das ist interessant
Wie Thomas Bayes war auch Richard Price ein praktizierender Geistlicher, und dazu noch ein gut vernetzter . Er traf sich persönlich mit Persönlichkeiten wie Benjamin Franklin, Thomas Jefferson, John Adams und Thomas Paine. Auch Mary Wollstonecraft – eine bahnbrechende Feministin und Mutter der „ Frankenstein “-Schöpferin Mary Wollstonecraft Shelley – war eine seiner Mentees.
