Wenn Sie die Wörter „rational“ und „irrational“ hören, denken Sie vielleicht an den Unterschied zwischen, sagen wir, dem kühlen, unerbittlich analytischen Mr. Spock und dem nüchternen, emotional unberechenbaren Dr. „Bones“ McCoy in „Star Trek“. Fernseh- und Filmuniversum. Wenn Sie kein Mathematiker sind, denken Sie wahrscheinlich nicht an Verhältnisse zwischen ganzen Zahlen und Quadratwurzeln, die Art von Zeug, das die Nicht-Mathematiker unter uns so verwirrt macht, wie wir es tun, wenn wir Queens „Bohemian Rhapsody“ auf Klingonisch hören .
Aber im Bereich der Mathematik, wo Wörter manchmal spezifische Bedeutungen haben, die sich stark vom alltäglichen Gebrauch unterscheiden, hat der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen nichts mit Argumentation und Logik im Gegensatz zu rohen emotionalen Trieben zu tun.
Denken Sie an das Wort „Verhältnis“
„Wenn Sie sich an den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen erinnern, denken Sie an ein Wort: Ratio“, erklärt Eric D. Kolaczyk . Er ist Professor an der Fakultät für Mathematik und Statistik an der Boston University und Direktor des Rafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science & Engineering der Universität .
„Wenn Sie eine Zahl als Verhältnis zweier ganzer Zahlen schreiben können (z. B. 1 zu 10, -5 zu 23, 1.543 zu 10 usw.), dann ordnen wir sie der Kategorie der rationalen Zahlen zu“, erklärt Kolaczyk in einer E-Mail. "Ansonsten sagen wir, es ist irrational."
Sie können entweder eine ganze Zahl oder einen Bruch – Teile von ganzen Zahlen – als Verhältnis ausdrücken, wobei eine ganze Zahl, die Zähler genannt wird, über einer anderen ganzen Zahl steht, die Nenner genannt wird. Du teilst den Nenner durch den Zähler. Das kann Ihnen eine Zahl wie 1/4 oder 500/10 (auch bekannt als 50) geben.
Irrationale Zahlen sind im Gegensatz zu rationalen Zahlen ziemlich kompliziert. Wie Wolfram MathWorld erklärt, können sie nicht durch Brüche ausgedrückt werden, und wenn Sie versuchen, sie als Zahl mit einem Dezimalpunkt zu schreiben , gehen die Ziffern einfach weiter und weiter, ohne jemals anzuhalten oder ein Muster zu wiederholen.
Welche Art von Zahlen verhalten sich also auf so verrückte Weise? Grundsätzlich solche, die komplizierte Dinge beschreiben. Die vielleicht berühmteste irrationale Zahl ist pi – manchmal geschrieben als π, der griechische Buchstabe für p – die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zum Durchmesser dieses Kreises ausdrückt. Wie der Mathematiker Steven Bogart in diesem Artikel von Scientific American aus dem Jahr 1999 erklärte, ist dieses Verhältnis immer gleich pi, unabhängig von der Größe des Kreises. Seit den frühesten Versuchenum Pi zu berechnen, wurden vor fast 4.000 Jahren von babylonischen Mathematikern durchgeführt, aufeinander folgende Generationen von Mathematikern haben immer weiter herumgebastelt und immer längere Dezimalzahlen mit sich nicht wiederholenden Mustern entwickelt. Im Jahr 2019 gelang es dem Google-Forscher Hakura Iwao, Pi auf 31.415.926.535.897 Stellen zu erweitern, wie dieser Cnet-Artikel beschreibt.
Manchmal ist eine Quadratwurzel – das heißt ein Faktor einer Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die Zahl ergibt, mit der Sie begonnen haben – eine irrationale Zahl, es sei denn, es handelt sich um ein perfektes Quadrat, das eine ganze Zahl ist, wie z. B. 4, die Quadratwurzel von 16. Eines der auffälligsten Beispiele ist die Quadratwurzel von 2 , die 1,414 plus eine endlose Folge sich nicht wiederholender Ziffern ergibt. Dieser Wert entspricht der Länge der Diagonale innerhalb eines Quadrats, wie sie erstmals von den alten Griechen im Satz des Pythagoras beschrieben wurde .
Warum verwenden wir die Wörter „rational“ und „irrational“?
Warum nennen wir sie rational und irrational? Das scheint etwas düster zu sein. „Wir verwenden ‚rational‘ in der Tat in der Regel so, dass es eher auf der Grundlage von Vernunft oder ähnlichem gemeint ist“, sagt Kolaczyk. „Seine Verwendung in der Mathematik scheint bereits im 12. Jahrhundert in britischen Quellen aufgetaucht zu sein (laut Oxford English Dictionary). Wenn Sie sowohl ‚rational‘ als auch ‚ratio‘ auf ihre lateinischen Wurzeln zurückführen, finden Sie das in beiden Fällen Bei root geht es im Großen und Ganzen um 'Argumentation'."
Klarer ist, dass sowohl rationale als auch irrationale Zahlen eine wichtige Rolle beim Fortschritt der Zivilisation gespielt haben. Während die Sprache wahrscheinlich ungefähr auf die Entstehung der menschlichen Spezies zurückgeht, kamen die Zahlen viel später auf, erklärt Mark Zegarelli , ein Mathematiklehrer und Autor, der 10 Bücher in der Reihe „For Dummies“ geschrieben hat. Jäger und Sammler, sagt er, brauchten wahrscheinlich nicht viel numerische Genauigkeit, außer der Fähigkeit, Mengen grob abzuschätzen und zu vergleichen.
"Sie brauchten Konzepte wie 'Wir haben keine Äpfel mehr'", sagt Zegarelli. "Sie mussten nicht wissen, 'wir haben genau 152 Äpfel.'"
Aber als die Menschen begannen, Landstücke abzuholzen, um Farmen zu errichten, Städte zu errichten und Waren herzustellen und zu handeln, und sich weiter von ihren Häusern entfernten, brauchten sie eine komplexere Mathematik.
„Stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Haus mit einem Dach, bei dem die Steigung genauso lang ist wie der Lauf von der Basis an ihrem höchsten Punkt“, sagt Kolaczyk. "Wie lang ist die Ausdehnung der Dachfläche selbst von der Spitze bis zur Außenkante? Immer ein Faktor der Quadratwurzel aus 2 der Steigung (Lauf). Und das ist auch eine irrationale Zahl."
Im technologisch fortgeschrittenen 21. Jahrhundert spielen laut Carrie Manore irrationale Zahlen weiterhin eine entscheidende Rolle . Sie ist Wissenschaftlerin und Mathematikerin in der Information Systems and Modeling Group am Los Alamos National Laboratory .
„Pi ist eine offensichtliche erste irrationale Zahl, über die man sprechen kann“, sagt Manore per E-Mail. „Wir brauchen es, um Fläche und Umfang von Kreisen zu bestimmen. Es ist entscheidend für die Berechnung von Winkeln, und Winkel sind entscheidend für Navigation, Gebäude, Vermessung, Ingenieurwesen und mehr . Darüber hinaus spielen irrationale Zahlen eine Schlüsselrolle in der komplexen Mathematik, die Hochfrequenz-Aktienhandel, Modellierung, Prognosen und die meisten statistischen Analysen ermöglicht – alles Aktivitäten, die unsere Gesellschaft am Laufen halten.
Die Liste ließe sich fortsetzen. „Tatsächlich macht es in unserer modernen Welt fast Sinn, stattdessen zu fragen, wo irrationale Zahlen NICHT verwendet werden?“ sagt Manore.
Nun, das ist interessant
Rechnerisch „verwenden wir eigentlich fast immer Annäherungen an diese irrationalen Zahlen, um Probleme zu lösen“, erklärt Manore. „ Diese Annäherungen sind rational, da Computer nur mit einer gewissen Genauigkeit rechnen können. Während das Konzept irrationaler Zahlen in Wissenschaft und Technik allgegenwärtig ist, könnte man argumentieren, dass wir in der Praxis tatsächlich nie eine echte irrationale Zahl verwenden.“
