Se você se lembra apenas vagamente de sua aula de matemática do ensino fundamental, pode não se lembrar o que é um número primo. É uma pena, porque se você está tentando manter seus e-mails protegidos de hackers ou navegar na web confidencialmente em uma rede privada virtual (VPN), você está usando números primos sem nem perceber.
Isso porque os números primos são uma parte crucial da criptografia RSA , uma ferramenta comum para proteger informações, que usa números primos como chaves para desbloquear as mensagens escondidas dentro de quantidades gigantescas do que está disfarçado de jargão digital. Além disso, os números primos têm outras aplicações no mundo tecnológico moderno, incluindo um papel importante na definição da intensidade da cor dos pixels na tela do computador que você está vendo agora.
Então, o que são números primos, afinal? E como eles se tornaram tão importantes no mundo moderno?
Como Wolfram MathWorld explica , um número primo - também conhecido simplesmente como primo - é um número positivo maior que 1 que só pode ser dividido por um e ele mesmo.
"O único número primo par é 2", explica Debi Mink , professora associada de educação recentemente aposentada na Indiana University Southeast, cuja especialidade inclui o ensino de matemática elementar. "Todos os outros primos são números ímpares."
Números como 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 são considerados números primos. Números como 4, 6, 8, 9, 10 e 12 não são.
Mark Zegarelli, autor de vários livros sobre matemática na popular série "For Dummies", que também ensina cursos preparatórios para testes, oferece uma ilustração envolvendo moedas que ele usa com alguns de seus alunos para explicar a diferença entre números primos e compostos , que podem ser dividido por outros números além de um e eles próprios. (Números compostos são o oposto de primos.)
“Pense no número 6”, diz Zegarelli, citando um número composto. "Imagine que você tem seis moedas. Você poderia formá-las em um retângulo, com duas fileiras de três moedas. Você também pode fazer isso com oito, colocando quatro moedas em duas fileiras. Com o número 12, você poderia transformá-las em mais de um tipo de retângulo - você pode ter duas fileiras de seis moedas, ou três vezes quatro. "
“Mas se você pegar o número 5, não importa o quanto tente, não poderá colocá-lo em um retângulo”, observa Zegarelli. "O melhor que você pode fazer é enfileirar em uma linha, uma única linha de cinco moedas. Então, você poderia chamar 5 de um número não retangular. Mas a maneira mais fácil de dizer isso é chamá-lo de um número primo."
Existem muitos outros primos - 2, 3, 7 e 11 também estão na lista, e continua rolando a partir daí. O matemático grego Euclides, por volta de 300 aC, inventou uma Prova da Infinitude dos Primos , que pode ter sido a primeira prova matemática mostrando que existe um número infinito de Primos. (Na Grécia antiga, onde o conceito moderno de infinito não era bem compreendido, Euclides descreveu a quantidade de primos simplesmente como "mais do que qualquer multidão atribuída de números primos". )
Outra maneira de entender os números primos e compostos é pensá-los como o produto de fatores, diz Zegarelli. "2 vezes 3 é igual a 6, então 2 e 3 são fatores de 6. Portanto, há duas maneiras de fazer seis - 1 vezes 6 e 2 vezes 3. Gosto de pensar neles como pares de fatores. Então, com um composto número, você tem vários pares de fatores, enquanto com um número primo, você tem apenas um par de fatores, uma vez o próprio número. "
Provar que o número de primos é infinito não é tão difícil, diz Zegarelli. "Imagine que existe um último e maior número primo. Vamos chamá-lo de P. Então, pegarei todos os números primos até P e multiplicarei todos juntos. Se eu fizer isso e adicionar um ao produto , esse número tem que ser primo. "
Em contraste, se um número for composto, ele sempre será divisível por alguma quantidade de números primos inferiores. "Um composto também pode ser divisível por outros compostos, mas, eventualmente, você pode decompor em um conjunto de números primos." (Um exemplo: o número 48 tem 6 e 8 como fatores, mas você pode dividi-lo ainda mais em 2 vezes 3 vezes 2 vezes 2 vezes 2.)
Por que os números primos são importantes
Então, por que os primos exerceram tanto fascínio entre os matemáticos por milhares de anos? Como explica Zegarelli, grande parte da matemática avançada é baseada em números primos. Mas também existe a criptografia, na qual os primos têm uma importância crítica, porque números realmente grandes possuem uma característica particularmente valiosa. Não há uma maneira rápida e fácil de saber se eles são primos ou compostos, diz ele.
A dificuldade de discernir entre grandes números primos e grandes compostos torna possível para um criptógrafo chegar a grandes números compostos que são fatores de dois números primos realmente grandes, compostos de centenas de dígitos.
“Imagine que a fechadura da sua porta seja um número de 400 dígitos”, diz Zegarelli. "A chave é um dos números de 200 dígitos usados para criar aquele número de 400 dígitos. Se eu tenho um desses fatores no bolso, tenho a chave da casa." não tem esses fatores, é muito difícil entrar.
É por isso que os matemáticos continuaram a trabalhar para chegar a números primos cada vez maiores, em um projeto em andamento chamado Great Internet Mersenne Prime Search . Em 2018, esse projeto levou à descoberta de um número primo que consistia em 23.249.425 dígitos, o suficiente para preencher 9.000 páginas de um livro, como descreveu o matemático Ittay Weiss da Universidade de Portsmouth (Inglaterra) em The Conversation . Demorou 14 anos de cálculos para chegar ao número primo gigante, que é mais de 230.000 vezes maior do que o número estimado de átomos no universo observável!
Você pode imaginar como Euclides ficou impressionado com isso.
Agora isso é legal
Embora muitos tenham acreditado que os primos são aleatórios, em um artigo de 2016, dois matemáticos da Universidade de Stanford descreveram um padrão aparente anteriormente desconhecido, no qual os primos tendiam a ser seguidos por outros primos terminando em certos dígitos, conforme detalha este artigo da Wired . Por exemplo, entre o primeiro bilhão de números primos, um primo terminando em 9 tem cerca de 65% mais probabilidade de ser seguido por um primo terminando em um do que por um primo terminando em nove.
