Es gibt ein berüchtigtes Zitat , das dem NBA-Trainer und ehemaligen Spieler Jason Kidd zugeschrieben wird: „Wir werden dieses Team um 360 Grad drehen!“
Hoppla. Da müssen Mathelehrer die Augen verdreht haben.
Wie Sie vielleicht bereits wissen, besteht ein Kreis aus genau 360 Grad. Wenn Kidd sein Versprechen gehalten hätte, wäre sein Team sicher umgedreht. Das Problem ist, dass der Trupp nicht aufhörte , sich zu drehen, bis er „den Kreis geschlossen“ hatte und genau dort landete, wo er begonnen hatte.
Kein Rezept zur Verbesserung. Was Kidd wollte, war, sein Team um 180 Grad zu drehen und sie zu Gewinnern zu machen!
Grad, definiert
Der Grad ist in diesem Zusammenhang eine Einheit, mit der wir Winkel messen können . Auf dem Papier werden Grade durch das Gradsymbol dargestellt, das so aussieht: °
Anstatt also „ 18 Grad“ zu schreiben, könntest du einfach „ 18 ° “ schreiben .
Einer der wichtigsten Begriffe in Trigonometrie und Geometrie ist der rechte Winkel . Dies ist der Winkel, der dort gebildet wird, wo sich zwei senkrechte Linien schneiden.
Es entspricht auch einem Viertel einer vollen Umdrehung.
Angenommen, Sie möchten etwas physisch drehen. Irgendetwas. Sie haben einen festen Mittelpunkt gewählt und versuchen, dieses Objekt in einer kreisförmigen Bewegung um ihn herum zu manövrieren. Wenn Sie den Job beenden und einen vollständigen Kreis machen, ist das eine volle Drehung. Aber wenn Sie den Prozess bei 25 Prozent des Weges stoppen, ist das nur ein Viertel einer vollen Umdrehung. Das ergibt einen rechten Winkel.
Ein rechter Winkel entspricht 90 Grad (dh 25 Prozent von 360). Anders ausgedrückt : Ein rechter Winkel ist gleich π/2 Radiant .
Auszeit! Was ist ein Radiant? Und wie kam da π ( pi ) ins Spiel?
Radian auspacken
OK, stellen Sie sich einen perfekten Kreis vor. Es gibt eine gerade Linie, die genau in der Mitte beginnt und am gekrümmten Umfang des Kreises endet (wie in der Außenkante).
Per Definition ist diese Linie der Radius unseres Kreises.
Im Wesentlichen ist ein Bogenmaß eine Scheibe eines Kreises. Betrachten Sie noch einmal den gekrümmten Außenumfang des Kreises. Stellen Sie sich nun ein Segment des Umfangs vor, dessen Länge dem Radius Ihres Kreises entspricht. Wenn Sie zwei gerade Linien zeichnen, die die beiden Endpunkte mit dem genauen Mittelpunkt des Kreises verbinden, wäre der Winkel, den sie erzeugen würden, ein Bogenmaß.
Jeder Kreis hat Platz für die gleiche Anzahl von Radianten. Diese Zahl ist gleich 2 mal pi ("π"). Da Pi selbst ungefähr 3,14 entspricht, könnte man sagen, dass ein Kreis ungefähr 6,28 Bogenmaß hat (2 x 3,14). Oder dass 1 Bogenmaß ungefähr 57,29 Grad (180 ° / π) ist.
Bogenmaß vs. Grad
Schauen Sie, wir werden es nicht leugnen. Radian kann ein schwieriger zu visualisierendes Konzept sein als Grad.
Aber lassen Sie Ersteres nicht unberücksichtigt. Beide Winkelmessgeräte haben ihre Vorteile.
Der Abschluss ist viel beliebter. Draußen in der realen Welt begegnen Sie eher Menschen, die in Grad statt in Radianten denken. Wenn Sie also versuchen, mit einem Nicht-Mathematiker zu kommunizieren, halten Sie sich vielleicht an Abschlüsse.
In der Analysis sind Radianten jedoch großartig, weil sie sich für viel einfachere Gleichungen eignen . Zukünftige AP-Studenten werden das im Hinterkopf behalten wollen.
Konvertieren von Grad in Bogenmaß (und umgekehrt)
Um Grad in Radiant umzurechnen, müssen Sie sich nur ein paar einfache Schritte merken.
Nehmen Sie zuerst die Gradzahl, die Sie umrechnen möchten. Multiplizieren Sie diese Zahl mit π Radianten/180 Grad . Indem Sie einige redundante Einheiten eliminieren und die Dinge dann ein wenig vereinfachen, haben Sie Ihre Antwort.
Angenommen, Sie haben eine Metallstange, die in einem Winkel von 120 Grad gebogen wurde. Wie können wir dies in Radiant ausdrücken?
Um das herauszufinden, schreiben wir unsere Gleichung so:
120 ° x (π Bogenmaß/180 ° )
Beachten Sie das oben gezeigte Paar Gradsymbole. Diese heben sich gegenseitig auf und stellen sicher, dass unsere endgültige Antwort im Bogenmaß angegeben wird. Uns bleibt jetzt:
120 x (π Bogenmaß/180)
Führen Sie die Multiplikation durch und Sie erhalten 120π/180 Radiant . Aber wir sind noch nicht ganz fertig. Jetzt müssen wir unseren Bruch möglichst vereinfachen. Wir müssen die höchste ganze Zahl identifizieren, die genau in den Nenner (180) und den Nicht-π-Teil des Zählers (120) geteilt werden kann. Spoiler-Alarm: In unserem Fall ist die magische Zahl 60.
Wenn Sie tatsächlich 120π und 180 durch 60 teilen, erhalten Sie 2π/3 Bogenmaß.
Also, los geht's: 120° ist gleich 2π/3 Radiant.
Das Wechseln von Radiant zu Grad ist ein ähnliches Verfahren . Nur in diesem Fall würden wir die Anfangszahl in Radiant nehmen und mit (180 ° / π ) multiplizieren.
π/3 Bogenmaß x (180 ° / π) = 60 Grad
Zusammenfassen:
Um von Radiant in Grad umzuwandeln : multipliziere mit 180, dividiere durch π
Um von Grad in Radiant umzuwandeln : mit π multiplizieren, durch 180 dividieren
Nun, das ist interessant
Die „Ring“-Form, die aus zwei konzentrischen Kreisen besteht, die sich denselben Mittelpunkt teilen, wird technisch als „ Kreisring “ bezeichnet.
