Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Objetivo deste artigo: Enunciar a desigualdade, discutir uma prova simples (existem muitas) e algumas aplicações nas áreas da matemática.

Augustin-Louis Cauchy — O matemático cujo nome eu ouvi inúmeras vezes ao longo de toda a minha graduação em matemática — teorema de Cauchy ou fórmula integral de Cauchy, sequência de Cauchy, equações de Cauchy-Riemann, distribuição de Cauchy, etc. Ele sempre apareceu pelo menos uma vez em qualquer módulo que fiz na universidade - obrigatório ou opcional - especialmente Análise, Cálculo Multivariável, Teoria das Probabilidades e em alguns módulos algébricos (Álgebra Linear) e geométricos.

Fora de seus muitos teoremas e resultados, uma desigualdade que ele publicou, é a desigualdade Cauchy-Schwarz (ou, desigualdade Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ). Primeiro Cauchy publicou a desigualdade simples. Bunyakovsky e Schwarz seguiram, publicando a versão integral da desigualdade e sua prova moderna.

Declaração

Fiquemos com o enunciado da desigualdade.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que,

Vamos dissecar isso corretamente porque as notações matemáticas não são universais. Muitas vezes, a mesma notação é usada de forma diferente em vários lugares, dependendo do contexto do conceito matemático.

A norma euclidiana , ou comprimento, ou magnitude de

é denotado por |x| e é definido por,

Em muitos outros contextos e disciplinas, a notação ||x|| é usado em vez de |x|.

A direção de um vetor diferente de zero x é definida como sendo o vetor unitário x/|x|. A relação óbvia

é a declaração matemática da definição informal de um vetor (diferente de zero) como uma quantidade que tem magnitude e direção (*Observe que o vetor zero não tem direção).

A distância euclidiana entre os vetores x e y em R^n é definida como

O produto interno euclidiano xy, também chamado de produto escalar e produto escalar , dos vetores x, y pertencentes a R^n é definido como

Outras notações para xy incluem (x, y) e <x, y>. Pelas definições acima, é evidente que

Então a desigualdade de Cauchy-Schwarz,

ou, para menor confusão,

pode ser reescrita como,

Prova

Agora, vamos provar isso. Existem muitas maneiras pequenas e simples de provar essa desigualdade. Vou discutir um deles neste artigo.

Primeiro tomamos dois vetores diferentes de zero x, y pertencentes a R^n.

seja f(k) uma função definida como,

(ky — x) também é um vetor. Sabemos que o comprimento de qualquer vetor real é sempre positivo porque o comprimento é o valor absoluto do vetor, o que significa que é a raiz dos quadrados. Portanto, o comprimento de qualquer vetor real é sempre maior ou igual a 0.

Então,

Sabemos que se tomarmos qualquer vetor v,

Portanto, para o vetor (ky — x),

Sabemos que o produto escalar é distributivo, associativo e comutativo. Usando a propriedade distributiva do produto escalar,

Então, usando as propriedades comutativas e associativas do produto escalar,

Vamos levar

Isso será maior que 0 para qualquer k.

Agora, calcularemos k = b/2a na função f(k). Antes de avaliarmos, devemos ter certeza de que o denominador não é zero. Então, a = yy onde y é um vetor diferente de zero . Também estabelecemos anteriormente que o comprimento de qualquer vetor real é maior que 0. Portanto, a é diferente de zero e 2a também.

avaliando,

Simplificando a desigualdade temos,

Colocando de volta os valores originais a, b e c,

Enraizando-se nos dois lados da desigualdade,

Esta é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Portanto, provou!

Exceto isso, existem muitas variações nas quais essa desigualdade pode ser provada.

Agora, antes de passarmos para seus aplicativos, deixe-me apontar uma coisa. E se um vetor na desigualdade for o múltiplo escalar do outro? Isso significa, e se

Então,

Assim, no caso em que um vetor da desigualdade é o múltiplo escalar do outro, a desigualdade de Cauchy-Schwarz torna-se uma igualdade,

Formulários

Essa desigualdade é aplicada em muitos campos e áreas de estudo, como na álgebra linear (matrizes, vetores e transformações), teoria da probabilidade (variáveis ​​aleatórias, valores esperados e correlação), bem como na física (princípio da incerteza e ruído de fótons) e engenharia (valores da raiz quadrada média em comparação com os valores de pico de uma forma de onda)

Em geometria, pode ser usado para encontrar o ângulo entre dois vetores diferentes de zero. A desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que, se os vetores x e y são ambos diferentes de zero, então existe

Se você conhece a desigualdade triangular da análise, definida como

Conhecendo propriedades algébricas, vetoriais e de produto interno simples, essa desigualdade triangular pode ser provada usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

A equação

é usado em estatística, especificamente na teoria da probabilidade para provar a desigualdade de covariância, onde 'Var' denota variância e 'Cov' denota covariância.

Em Cálculo Multivariável, que fazia parte do meu curso em Warwick, essa desigualdade foi usada ao definir e provar uma relação entre |Ax| e |x| a partir do qual a norma do operador surge quando x varia sobre R^n, onde,

L(R^n,R^k) é o espaço de mapas lineares,

Portanto, neste artigo, nos aprofundamos em um dos muitos resultados importantes da matemática avançada, que é uma ferramenta muito útil em várias provas e na compreensão de vários conceitos da matemática.