A matemática de objetos de aparência simples pode ser surpreendentemente desconcertante. Provavelmente não há maior exemplo disso do que a tira de Möbius.
É um objeto de um lado que pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel e conectando as pontas com alguma fita adesiva. Se você seguisse a volta com o dedo, acabaria voltando exatamente para o ponto de partida, tendo tocado toda a superfície da volta ao longo da jornada. Esta criação simples, a faixa de Möbius, é fundamental para todo o campo da topologia e serve como um exemplo quintessencial de vários princípios matemáticos.
Um desses princípios é a não orientação , que é a incapacidade dos matemáticos de atribuir coordenadas a um objeto, digamos para cima ou para baixo, ou lado a lado. Esse princípio tem alguns resultados interessantes, pois os cientistas não têm certeza se o universo é orientável.
Isso representa um cenário desconcertante: se um foguete com astronautas voasse para o espaço por tempo suficiente e depois voltasse, presumindo que o universo era não orientável, é possível que todos os astronautas a bordo voltassem ao contrário.
Em outras palavras, os astronautas voltariam como imagens espelhadas de seu antigo eu, completamente invertidos. Seu coração estaria mais à direita do que à esquerda e eles podem ser canhotos em vez de destros. Se um dos astronautas tivesse perdido a perna direita antes do vôo, ao retornar, o astronauta perderia a perna esquerda. Isso é o que acontece quando você atravessa uma superfície não orientável como uma faixa de Möbius.
Embora esperemos que sua mente esteja explodindo - pelo menos um pouco - precisamos dar um passo para trás. O que é uma tira de Möbius e como um objeto com matemática tão complexa pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel?
A História da Faixa de Möbius
A tira de Möbius (às vezes escrita como "tira Mobius") foi descoberta pela primeira vez em 1858 por um matemático alemão chamado August Möbius, enquanto ele pesquisava teorias geométricas. Embora Möbius seja amplamente creditado com a descoberta (daí o nome da tira), ela foi descoberta quase simultaneamente por um matemático chamado Johann Listing. No entanto, ele adiou a publicação de seu trabalho e foi derrotado por August Möbius.
A própria faixa é definida simplesmente como uma superfície unilateral não orientável que é criada adicionando uma meia torção a uma faixa. As tiras de Möbius podem ser qualquer faixa que tenha um número ímpar de meias torções, o que acaba fazendo com que a tira tenha apenas um lado e, conseqüentemente, uma borda.
Desde a sua descoberta, a tira unilateral fascina artistas e matemáticos. A tira encantou ainda MC Escher , levando a suas famosas obras, "Möbius Strip I e II" .
A descoberta da faixa de Möbius também foi fundamental para a formação do campo da topologia matemática , o estudo das propriedades geométricas que permanecem inalteradas à medida que um objeto é deformado ou alongado. A topologia é vital para certas áreas da matemática e da física, como equações diferenciais e teoria das cordas.
Por exemplo, de acordo com os princípios topográficos, uma caneca é na verdade um donut . O matemático e artista Henry Segerman explica isso melhor em um vídeo do YouTube : "Se você pegar uma caneca de café, pode meio que desfazer o recuo do lugar para onde o café vai e pode espremer um pouco a alça e, eventualmente, pode deformá-la em [a] forma de rosquinha redonda simétrica. " (Isso explica a piada de que topologista é alguém que não consegue ver a diferença entre um donut e uma caneca de café.)
Usos práticos para a Mobius Strip
A tira de Möbius é mais do que apenas uma grande teoria matemática: ela tem algumas aplicações práticas interessantes, seja como um auxiliar de ensino para objetos mais complexos ou em máquinas.
Por exemplo, uma vez que a faixa de Möbius é fisicamente unilateral, o uso de faixas de Möbius em correias transportadoras e outras aplicações garante que a própria correia não sofra desgaste desigual ao longo de sua vida. O professor associado NJ Wildberger da Escola de Matemática da Universidade de New South Wales, Austrália, explicou durante uma série de palestras que uma torção é frequentemente adicionada às correias de transmissão em máquinas, "propositalmente para usar a correia uniformemente em ambos os lados". A tira de Möbius também pode ser vista na arquitetura, por exemplo, a Ponte Wuchazi na China.
O Dr. Edward English Jr. , Professor de matemática do ensino médio e ex-engenheiro óptico, diz que quando ele aprendeu sobre a tira de Möbius na escola primária, seu professor o fez criar uma com papel, cortando a tira de Möbius ao longo de seu comprimento, criando um tira mais longa com duas voltas completas.
"Ficar intrigado e exposto a esse conceito de dois 'estados' me ajudou, acho, quando encontrei spin para cima / para baixo dos elétrons", diz ele, referindo-se ao seu doutorado. estudos. "Várias idéias da mecânica quântica não eram conceitos tão estranhos para eu aceitar e entender porque a tira de Möbius me apresentou a tais possibilidades." Para muitos, a tira de Möbius serve como a primeira introdução à geometria e matemática complexas .
Como você cria uma faixa de Möbius?
Criar uma tira de Möbius é incrivelmente fácil. Simplesmente pegue um pedaço de papel e corte-o em uma tira fina, digamos de 2,5 a 5 centímetros de largura. Depois de cortar a tira, simplesmente gire uma das pontas em 180 graus, ou gire a metade. Em seguida, pegue um pouco de fita e conecte essa extremidade à outra extremidade, criando um anel com meia torção dentro. Você agora fica com uma tira de Möbius!
Você pode observar melhor os princípios dessa forma pegando o dedo e acompanhando as laterais da tira. Você acabará fazendo todo o caminho ao redor da forma e encontrará seu dedo de volta onde começou.
Se você cortar uma tira de Möbius no centro, ao longo de seu comprimento total, ficará com um laço maior com quatro meias torções. Isso o deixa com uma forma circular torcida, mas que ainda tem dois lados. É essa dualidade que o Dr. English mencionou o ajudou a entender princípios mais complexos.
Agora isso é legal
Se você cortar um bagel ao longo do caminho de uma tira de Möbius , você ficará com dois anéis de bagel conectados. Além disso, a superfície do corte será maior do que apenas cortar o bagel ao meio, permitindo que você espalhe mais cream cheese no bagel para comer.
