Estimativa dos modelos ARCH e GARCH com inovações normais e não normais usando o pacote rugrach()

Você pode baixar dados e notebook do GitHub.

Os modelos do tipo RIMA são incapazes de explicar uma série de características importantes comuns à maioria das séries temporais financeiras. Em uma postagem separada, discuti todos os fatos estilizados dos retornos financeiros .

Existem muitos tipos distintos de modelos de séries temporais não lineares. Os modelos ARCH ou GARCH , que são usados ​​para modelar e prever a volatilidade, são os modelos financeiros não lineares mais usados.

O conceito ARCH foi desenvolvido pelo economista Robert F. Engle III na década de 1980. A ARCH melhorou imediatamente a modelagem financeira, resultando em Engle ganhando o Prêmio Nobel de Ciências Econômicas em 2003 .

Robert F. Engle III , um economista, criou o conceito ARCH na década de 1980.
Engle ganhou o Prêmio Nobel de Ciências Econômicas em 2003 como resultado da melhoria instantânea da modelagem financeira do ARCH.

1. Efeito ARCH

É importante ter em conta um modelo que não assuma que a variância é constante porque é pouco provável no caso de séries temporais financeiras que a variância dos erros se mantenha constante ao longo do tempo.

Ao incorporar volatilidade condicional em vez de suposições de volatilidade constante , o modelo autoregressivo de heteroscedasticidade condicional (ARCH) foi criado para aprimorar os modelos econométricos

Se a variância dos erros não for constante, isso seria conhecido como heterocedasticidade . Diz-se que uma série temporal exibindo heterocedasticidade condicional ou autocorrelação na série quadrada tem efeitos autorregressivos condicionais heterocedásticos - ARCH) .

É importante testar o efeito ARCH antes de aplicar os modelos ARCH ou GARCH.

2. Teste para efeito ARCH

Faz mais sentido calcular o teste de Engle (1982) para efeitos ARCH antes de estimar um modelo do tipo GARCH para garantir que essa classe de modelos seja apropriada para os dados.

O teste ARCH de Engle é um teste multiplicador de Lagrange para avaliar a significância dos efeitos ARCH:

Considere testar as hipóteses:

O teste ARCH é frequentemente aplicado a dados de retornos brutos.

3. Modelo ARCH(p) de Engle

O ARCH, que é a heteroscedasticidade condicional, transmite que a volatilidade nos mercados financeiros não é constante e muda quase o tempo todo.

O modelo ARCH(1) é o modelo GARCH mais simples

Sob o modelo ARCH, a 'autocorrelação na volatilidade' é modelada permitindo que a variância condicional do termo de erro dependa do valor imediatamente anterior do erro quadrado:

O caso geral em que a variância do erro depende de q defasagens dos erros quadrados, que seria conhecido como modelo ARCH(q):

4. Modelos GARCH(p,q)

Quando se trata de capturar o agrupamento de volatilidade dos retornos financeiros, os modelos de heterocedasticidade condicional autorregressiva generalizada (GARCH) de Taylor (1986) e Bollerslev (1986) dominam.

O Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) é uma melhoria do modelo ARCH original criado por Engle (1986).

O modelo GARCH permite que a variância condicional seja dependente de defasagens anteriores e termos de erro ao quadrado

O modelo mais simples de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada (GARCH) pode ser escrito como:

O modelo GARCH(1,1) pode ser estendido para uma formulação GARCH(p,q), onde a variância condicional atual é parametrizada para depender de q lags do erro quadrado e p lags da variância condicional:

Na maioria dos casos, um modelo GARCH(1,1) é suficiente para capturar o agrupamento de volatilidade nos dados e raramente um modelo de ordem superior é estimado ou mesmo considerado na literatura acadêmica de finanças.

5. Etapas envolvidas antes de estimar modelos de volatilidade

Ao estimar modelos do tipo GARCH, as seguintes etapas são essenciais:

eu. Verifique o estacionário

• Aplique o teste dicky fuller aumentado
• Gráfico de série temporal

- Gráfico de série temporal

iii. verifique a normalidade

• Histograma
• Teste Jarque-Bera de Normalidade
• QQ-plot
• Estatísticas resumidas (curtose)

• Aplicar teste LM ARCH

ou

• Aplique o teste Ljung-Box Q nos primeiros m lags da série residual quadrada

v. Estimar os modelos ARCH e GARCH com inovações normais usando o pacote rugarch()

Se o efeito ARCH estiver presente nos retornos, estimaremos o modelo ARCH e GARCH usando o pacote rugarch().

vi. Estimar os modelos ARCH e GARCH com inovações não normais usando o pakage rugarch()

Como podemos ver pelos fatos estilizados, a suposição de distribuição normal não é verdadeira. Estimaremos os modelos ARCH e GARCH com inovação de distribuição t.

vii. Seleção de modelo usando critério de informação

6. Aplicação em R

Instale e carregue as bibliotecas necessárias:

Defina seu diretório de trabalho e carregue seus dados

Calcule os retornos financeiros e remova o primeiro valor NA

i- Confira o Estacionário:

• ADF-test dos pacotes “tseries” ou “urca” pode ser usado.

ii. Verifique a presença de volatilidade

• Verificamos a presença de volatilidade usando gráficos de séries temporais para retornos de log, retornos quadrados e retornos absolutos.

• Histograma para verificar a normalidade

• QQ-plot para verificar a normalidade

• Valor da curtose para verificar a normalidade

• Teste de Jarque Bera para verificar a normalidade

4. Verifique o efeito ARCH

Vou plotar a correlação automática primeiro:

Os retornos quadrado e absoluto mostram alto nível de autocorrelação.

Podemos verificar novamente a presença de autocorrelação em retornos quadrados aplicando o teste Ljung-Box em retornos quadrados.

p<0,05, portanto, os dados não são independentes. Rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que a correlação automática está presente.

Teste ARCH-LM

O teste LM mostra p-valor menor que 0,05, o que indica que a hipótese nula (sem efeito de arco) pode ser rejeitada. Portanto, o BMW Returns exibe o efeito ARCH.

v. Estimar os modelos ARCH e GARCH com inovações normais usando o pacote rugarch()

• Estimativa do modelo ARCH com inovação normal

• GARCH(1,1) com Inovação Normal

ARCH(1) e GARCH(1,1) com Inovação normal não são Modelos apropriados

• Gráfico QQ de valores ajustados GARCH normais

• Modelo ARCH com inovação de distribuição t


• Modelo GARCH com inovação de distribuição t

• Vários lotes de modelos ajustados

Vou estimar o modelo GARCH assimétrico em um post separado.

Referência

Brooks, Cris. Econometria introdutória para finanças . 4ª edição. Cambridge University Press. 2019.

Zivot , E. 2023. Introdução às Finanças Computacionais e Econometria Financeira .