Muitos de vocês provavelmente não apenas ouviram falar, mas aprenderam matrizes em uma universidade ou escola secundária. Quando eu era calouro e fiz um curso de álgebra na universidade, não conseguia entender o motivo de aprender matrizes. As únicas perguntas que eu tinha em mente eram: “Por que as pessoas se importam com matrizes? Por que precisamos aprender a multiplicá-las e encontrar as matrizes inversas?”, apesar de ser um aluno exemplar. Embora, então eu descobri. Então, deixe-me mostrar como as matrizes podem ser poderosas.

À primeira vista, uma matriz é apenas uma tabela de números. Não parece impressionante e ainda não está claro por que precisamos representar os números dessa maneira.

Talvez você já tenha ouvido falar da evidente e simples aplicação das matrizes — elas são usadas para resolver sistemas lineares de equações, que geralmente são de tamanho gigantesco (até mesmo da ordem de milhões). Em resumo, cada sistema de equações lineares pode ser representado como A x = b , onde:

• A é a matriz de coeficientes
• x é uma matriz coluna das incógnitas
• b é a matriz coluna, que contém as constantes dos lados direitos das equações

Na verdade, as matrizes são algo mais do que apenas uma tabela de números. É uma ferramenta “mágica” que pode ajudá-lo a modificar espaços.

Vamos considerar o próximo triângulo de três vetores no sistema de coordenadas cartesianas:

E se quisermos girar esse triângulo em 90 graus? A maneira mais fácil de conseguir isso é... usar matrizes! Primeiro, vamos escrever as coordenadas dos vetores correspondentes como uma matriz, sabendo que a = (0, 1), b = (2, -1), c = (-2, 0):

A matriz de rotação pelo ângulo α tem a seguinte aparência:

Portanto, a matriz de rotação de 90° é

Para girar nosso triângulo em 90°, precisamos encontrar o produto da matriz de R e A :

Assim, os vetores transformados são (-1, 0), (1, 2) e (0, -2):

Portanto, este é um exemplo simples, mas impressionante, de como as matrizes podem nos ajudar a rotacionar vetores em uma base específica de vetores. Na verdade, as matrizes podem fazer muito mais do que apenas rotação. Por exemplo, vamos encontrar o produto de uma matriz invertível aleatória (vamos chamá-la de S ) e nossa matriz A :

Então, na imagem a seguir, você pode ver o triângulo original esticado. As linhas de grade de origem são pontilhadas e as linhas cinzas representam as linhas de grade esticadas.

Como você pode ver, podemos modificar figuras e superfícies usando matrizes. Para aplicar várias modificações a vetores, você deve multiplicá-los à esquerda da expressão. Portanto, se você quiser esticar nosso triângulo e depois girá-lo, a matriz de vetores modificada ficará da seguinte forma:

Segue o resultado no gráfico:

Então, se você quiser trazer nosso novo triângulo de volta ao seu estado original, você deve aplicar as matrizes inversas:

Como você pode ver, as matrizes podem descrever coisas intuitivamente compreensíveis de uma forma matemática precisa. Além disso, o conjunto de todas as matrizes invertíveis 2×2 forma um grupo sob multiplicação ! Se você não sabe o que são grupos, confira meu artigo sobre eles .

De fato, o conjunto de matrizes inversíveis 2 × 2 (vamos chamá-lo de M) satisfaz todas as propriedades de um grupo:

1. Para quaisquer duas matrizes em M, seu produto pertence a M. É óbvio que o produto de matrizes é uma matriz, mas será sempre uma matriz invertível? Então, como det(AB) = det(A) det(B) e ambos det(A) e det(B) não são iguais a 0, det(AB) também não é igual a 0 e AB é uma matriz invertível
2. Para quaisquer três matrizes em M, não importa em que ordem você aplica a multiplicação. Então, (AB) C = A (BC) Cuidado! Para matrizes arbitrárias, AB ≠ BA
3. A identidade 2 × 2 matriz I é um elemento neutro neste conjunto.
4. Para qualquer matriz 2×2 invertível A, há sempre uma matriz inversa A⁻¹ e A⁻¹ A = AA⁻¹ = I

Referências

[1] T. Panov (2019). Álgebra Linear e Geometria

[2] A. Kostrikin, Y. Manin. Álgebra Linear e Geometria

[3] Socrática. Curso de Álgebra Abstratahttps://www.socratica.com/subject/abstract-algebra

[4] 3Azul1Castanho. Multiplicação de matrizes como composiçãohttps://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU