Quando você ouve as palavras "racional" e "irracional", isso pode trazer à mente a diferença entre, digamos, o frio e implacavelmente analítico Sr. Spock e o cabeça-dura e emocionalmente volátil Dr. "Bones" McCoy em "Jornada nas Estrelas". universo da televisão e do cinema. A menos que você seja um matemático , no entanto, você provavelmente não pensa em razões entre números inteiros versus raízes quadradas, o tipo de coisa que faz os não-matemáticos entre nós se sentirem tão confusos quanto ao ouvir "Bohemian Rhapsody" do Queen cantado em Klingon .
Mas no reino da matemática, onde as palavras às vezes têm significados específicos que são muito diferentes do uso cotidiano, a diferença entre números racionais e irracionais não tem nada a ver com raciocínio e lógica versus impulsos emocionais brutos.
Lembre-se da palavra 'proporção'
"Ao lembrar a diferença entre números racionais e irracionais, pense em uma palavra: proporção", explica Eric D. Kolaczyk . Ele é professor no departamento de matemática e estatística da Universidade de Boston e diretor do Rafik B. Hariri Institute for Computational Science & Engineering da universidade .
"Se você pode escrever um número como uma razão de dois inteiros (por exemplo, 1 sobre 10, -5 sobre 23, 1.543 sobre 10, etc.), então nós o colocamos na categoria de números racionais", explica Kolaczyk em um e-mail. "Caso contrário, dizemos que é irracional."
Você pode expressar um número inteiro ou uma fração — partes de números inteiros — como uma razão, com um inteiro chamado numerador em cima de outro inteiro chamado denominador. Você divide o denominador no numerador. Isso pode fornecer um número como 1/4 ou 500/10 (também conhecido como 50).
Os números irracionais, em contraste com os números racionais, são bastante complicados. Como explica o Wolfram MathWorld , eles não podem ser expressos por frações, e quando você tenta escrevê-los como um número com um ponto decimal , os dígitos continuam sem parar, sem nunca parar ou repetir um padrão.
Então, que tipo de números se comportam de maneira tão louca? Basicamente, aqueles que descrevem coisas complicadas. Talvez o número irracional mais famoso seja pi — às vezes escrito como π, a letra grega para p — que expressa a razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro desse círculo. Como o matemático Steven Bogart explicou neste artigo de 1999 da Scientific American que a razão sempre será igual a pi, independentemente do tamanho do círculo. Desde as primeiras tentativaspara calcular pi foram realizados por matemáticos babilônicos quase 4.000 anos atrás, sucessivas gerações de matemáticos continuaram se conectando e criando sequências de decimais cada vez mais longas com padrões não repetidos. Em 2019, o pesquisador do Google Hakura Iwao conseguiu estender o pi para 31.415.926.535.897 dígitos, conforme detalha este artigo da Cnet .
Às vezes, uma raiz quadrada - ou seja, um fator de um número que, quando multiplicado por si mesmo, produz o número com o qual você começou - é um número irracional, a menos que seja um quadrado perfeito que seja um número inteiro, como 4, a raiz quadrada de 16. Um dos exemplos mais evidentes é a raiz quadrada de 2 , que resulta em 1,414 mais uma sequência interminável de dígitos não repetidos. Esse valor corresponde ao comprimento da diagonal dentro de um quadrado, conforme descrito pela primeira vez pelos antigos gregos no teorema de Pitágoras .
Por que usamos as palavras 'racional' e 'irracional'?
Por que os chamamos de racionais e irracionais? Isso parece ser um pouco obscuro. "Na verdade, normalmente usamos 'racional' para significar algo mais baseado na razão ou similar", diz Kolaczyk. "Seu uso em matemática parece ter surgido já em 1200 em fontes britânicas (de acordo com o Oxford English Dictionary). raiz é sobre 'raciocínio', em termos gerais."
O que está mais claro é que tanto os números racionais quanto os irracionais desempenharam papéis importantes no avanço da civilização. Embora a linguagem provavelmente remonte à origem da espécie humana, os números surgiram muito mais tarde, explica Mark Zegarelli , professor de matemática e autor que escreveu 10 livros da série "For Dummies". Os caçadores-coletores, diz ele, provavelmente não precisavam de muita precisão numérica, além da capacidade de estimar e comparar quantidades grosseiramente.
"Eles precisavam de conceitos como 'não temos mais maçãs'", diz Zegarelli. "Eles não precisavam saber 'nós temos exatamente 152 maçãs'."
Mas à medida que os humanos começaram a esculpir lotes de terra para criar fazendas, erguer cidades e fabricar e comercializar mercadorias, viajando para mais longe de suas casas, eles precisavam de uma matemática mais complexa.
"Suponha que você construa uma casa com um telhado para o qual a elevação tenha o mesmo comprimento que a corrida da base no ponto mais alto", diz Kolaczyk. "Qual é a extensão da superfície do telhado em si, do topo até a borda externa? Sempre um fator da raiz quadrada de 2 do aumento (execução). E esse é um número irracional também."
No século 21 tecnologicamente avançado, os números irracionais continuam a desempenhar um papel crucial, de acordo com Carrie Manore . Ela é cientista e matemática do Grupo de Modelagem e Sistemas de Informação do Laboratório Nacional de Los Alamos .
"Pi é um primeiro número irracional óbvio para se falar", diz Manore por e-mail. "Precisamos dele para determinar a área e a circunferência dos círculos. É fundamental para calcular os ângulos, e os ângulos são críticos para a navegação, construção, levantamento, engenharia e muito mais. A comunicação por radiofrequência depende de senos e cossenos que envolvem pi." Além disso, os números irracionais desempenham um papel fundamental na matemática complexa que possibilita a negociação de ações de alta frequência, modelagem, previsão e a maioria das análises estatísticas – todas as atividades que mantêm nossa sociedade funcionando.
A lista poderia continuar. "Na verdade, em nosso mundo moderno, quase faz sentido perguntar, onde os números irracionais NÃO estão sendo usados?" diz Manoré.
Agora isso é interessante
Computacionalmente, "quase sempre estamos usando aproximações desses números irracionais para resolver problemas", explica Manore. " Essas aproximações são racionais, já que os computadores só podem calcular com certa precisão. Embora o conceito de números irracionais seja onipresente na ciência e na engenharia, pode-se argumentar que na verdade nunca estamos usando um número irracional verdadeiro na prática."
