Perspectiva da Física : Os vetores são setas apontando no espaço. O que define um vetor são os comprimentos e a direção para a qual aponta. Os vetores em um plano plano são bidimensionais e os vetores no espaço amplo são tridimensionais.

Perspectiva da Ciência da Computação : Os vetores são uma lista ordenada de números. Se o comprimento da lista for 2, então o vetor é 2-Dimensional.

Perspectiva matemática : vetores são objetos que possuem magnitude e direção. Magnitude define o tamanho do vetor. É representado por uma linha com uma seta, onde o comprimento da linha é a magnitude do vetor e a seta mostra a direção. Também é conhecido como vetor euclidiano ou vetor geométrico ou vetor espacial ou simplesmente vetor .

Especificidades da álgebra vetorial

Precisamente, um Vetor é uma estrutura de dados com pelo menos dois componentes, em oposição a um escalar. Escalares são apenas números. Podemos pensar neles como qualquer valor regular que usamos.

As coordenadas de um vetor são um par de números que basicamente fornecem instruções sobre como ir da cauda desse vetor na origem até sua ponta. Em um vetor, cada coordenada é um escalar.

Adição e dimensionamento de vetores

Combinação linear significa somar vetores. Span de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores.

Combinação linear de V, W, U é aV+ bW+ cU

Span desses vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis

Três escalares que mudam livremente resultarão em acesso à 3-Dimensão completa do espaço.

Um dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear de outro, então é Linearmente Dependente.

u=aV+bW

Se cada vetor adiciona outra dimensão ao vão, eles são Linearmente Independentes.

W!= aV (para todos os valores de a)

A Base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que abrangem todo o espaço.

Produto escalar de vetores

O produto escalar entre 2 vetores A e B está projetando w na linha que passa pela origem e a ponta de A.

A · B = | A| × |B| × cos(θ)

Produto escalar = (comprimento de A projetado) * (comprimento de B projetado)

• 2 vetores estão apontando na mesma direção, o produto escalar é positivo
• 2 vetores são perpendiculares então o produto escalar é zero
• 2 vetores estão apontando em direções opostas, então o produto escalar é negativo

Produto vetorial de vetores

O produto vetorial de dois vetores é o terceiro vetor perpendicular aos dois vetores originais. Sua magnitude é dada pela área do paralelogramo entre eles e sua direção pode ser determinada pela regra do polegar da mão direita. O produto vetorial de dois vetores também é conhecido como produto vetorial, pois a resultante do produto vetorial de vetores é uma quantidade vetorial. O produto vetorial tem comprimento zero quando os vetores a e b apontam na mesma direção, ou oposta, e atinge o comprimento máximo quando os vetores a e b estão em ângulos retos

A x B= |A| |B| sen θ

O produto cruzado fornece um vetor como saída

Semelhança de cosseno

A similaridade de cosseno mede o cosseno do ângulo entre 2 vetores diferentes de zero de um espaço de produto interno. Essa medida de similaridade está particularmente preocupada com a orientação, e não com a magnitude. 2 vetores de cosseno que estão alinhados na mesma orientação terão uma medida de similaridade de 1, enquanto dois vetores alinhados perpendicularmente terão uma similaridade de 0. Se dois vetores são diametralmente opostos, o que significa que estão orientados em direções exatamente opostas, então a medida de similaridade é -1.

Normalização Vetorial

Os vetores têm magnitudes e vetores diferentes podem ter tamanhos diferentes. Às vezes, não nos importamos com o tamanho de um vetor e estamos interessados ​​apenas na direção. Se não nos importamos com a magnitude, podemos simplesmente fazer com que cada vetor tenha o mesmo tamanho. Fazemos isso dividindo cada vetor por sua magnitude, fazendo com que cada vetor tenha uma magnitude de 1, ou transformando-os em um vetor unitário.

Álgebra vetorial no aprendizado de máquina

1. As máquinas não podem ler texto ou ver imagens como nós. Eles precisam de entrada para serem transformados ou codificados em números. Vetores e matrizes representam entradas como texto e imagens como números, para que possamos treinar e implantar nossos modelos.
2. O objetivo da maioria dos projetos de ML é criar um modelo que execute alguma função. Em modelos de aprendizado profundo, isso é obtido por meio de uma rede neural em que as camadas da rede neural usam álgebra linear (como multiplicação de matrizes e vetores) para ajustar seus parâmetros. É aqui que a definição matemática de vetores é relevante para ML. Isso inclui entender os espaços vetoriais e por que eles são importantes para ML.
3. A saída do modelo ML pode ser uma variedade de entidades diferentes, dependendo do nosso objetivo, e também pode ser um vetor. Por exemplo, os modelos NLP aceitam texto e, em seguida, geram um vetor (chamado de incorporação) representando a frase. Você pode usar esse vetor para executar uma série de operações ou como uma entrada em outro modelo. Entre as operações que você pode executar estão agrupar sentenças semelhantes em um espaço vetorial ou encontrar semelhança entre sentenças diferentes usando operações como similaridade de cosseno.
4. A redução de dimensionalidade trata da conversão de dados de alta dimensionalidade em dados de menor dimensionalidade, mantendo a maior parte das informações nos dados. Isso nos permite trabalhar em conjuntos de dados maiores e identificar os recursos mais relevantes dos dados.

Referências