Muhtemelen bir çemberin ne olduğuna dair sezgisel bir fikriniz vardır : bir basketbol çemberinin şekli, bir çark veya çeyreklik. Hatta liseden, yarıçapın dairenin merkezinden başlayıp çevresinde biten herhangi bir düz çizgi olduğunu bile hatırlayabilirsiniz .
Birim çember, yarıçapı 1 olan bir çemberdir. Ancak çoğu zaman başka çan ve ıslıklarla birlikte gelir.
Sinüs, kosinüs ve tanjant olarak bilinen dik üçgen ilişkilerini tanımlamak için bir birim çember kullanılabilir. Bu ilişkiler, bir dik üçgenin açılarının ve kenarlarının birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu tanımlar. Örneğin, 30 derecelik açıya sahip ve en uzun kenarı veya hipotenüsü 7 uzunlukta olan bir dik üçgenimiz olduğunu varsayalım. Üçgenin kalan iki kenarının uzunluklarını bulmak için önceden tanımlanmış dik üçgen ilişkilerimizi kullanabiliriz. .
Trigonometri olarak bilinen bu matematik dalı, inşaat, GPS, sıhhi tesisat, video oyunları, mühendislik, marangoz işi ve hava uçuş navigasyonu gibi günlük pratik uygulamalara sahiptir.
Standart bir birim çemberi ezberlemek için, üç ana bileşeni hatırlayabilmemiz gerekir:
- Dört kadran
- 16 açı
- Yarıçapın dairenin çevresine temas ettiği 16 açının her biri için (x, y) koordinatları
Bize yardım etmek için Unit Pizza Palace'a yapacağımız bir geziyi hatırlayacağız. Bakmadan okuyana kadar aşağıdakileri ezberlemek için birkaç dakikanızı ayırın:
- 4 pizza dilimi
- 6 dolara 3 turta
- 2 kare masa
- 1 , 2, 3
Adım 1: 4 Pizza Dilimi
Dört eşit dilim halinde kesilmiş bir bütün pizza hayal edin. Matematikte dairenin bu dört parçasını kadran olarak adlandırırdık .
Dairenin dış kenarı boyunca herhangi bir noktayı tanımlamak için (x, y) koordinatlarını kullanabiliriz. X koordinatı, merkezden sola veya sağa gidilen mesafeyi temsil eder. Y koordinatı, yukarı veya aşağı gidilen mesafeyi temsil eder. X koordinatı, nokta, başlangıç noktası ve x ekseni tarafından oluşturulan açının kosinüsüdür . Y koordinatı, açının sinüsünü ifade eder.
Bir birim çemberde, çemberin tam ortasından hareket eden düz bir çizgi (1, 0) koordinatında çemberin kenarına ulaşacaktır. Bunun yerine yukarı, sola veya aşağı gidersek, çevreye sırasıyla (0, 1), (-1, 0) veya (0, -1) de dokunurduk.
İlişkili dört açının (radyan cinsinden, derece cinsinden değil) hepsinin paydası 2'dir. (Bir radyan, yarıçapı alıp bir daireyi sararken yapılan açıdır . Derece, kat edilen mesafeye göre açıları ölçer. Bir daire 360 derecedir veya 2π radyan).
Paylar koordinattan (1,0) başlayarak 0'dan başlar ve saat yönünün tersine 1π kadar sayar. Bu işlem 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 ve 3π / 2 verecek. 0, π / 2, π ve 3π / 2. dörtlü elde etmek için bu kesirleri basitleştirin
Adım 2: 6 Dolara 3 Turta
"3 turta" ile başlayın. Y eksenine bir göz atın. Doğrudan y ekseninin sağına ve soluna doğru olan radyan açılarının hepsinin paydası 3'tür. Kalan her açının, π olarak yazılan matematiksel pi değerini içeren bir payı vardır.
"6 için 3 pasta", her çeyrekte üç açı olacak şekilde, standart bir birim çemberde kalan 12 açıyı hatırlamak için kullanılır. Bu açıların her biri kesir olarak yazılır.
"6 $ için" bize her çeyrekte kalan paydaların 4 ve sonra 6 olduğunu hatırlatmak içindir.
Bu adımın en zor kısmı, her fraksiyon için payı tamamlamaktır.
2. çeyrekte (dairenin sol üst çeyreği), π'nin önüne 2, sonra 3 ve sonra 5'i koyun.
Çeyrek 2'deki ilk açınız 2π / 3 olacaktır. Paydaki 2'yi ve paydadaki 3'ü bir araya getirdiğinizde 5. çeyrek dörtte (dairenin sağ alt çeyreği) açıya bakın. Bu 5'i π'nin önündeki paya yerleştirin. 2. ve 4. kadranlardaki diğer iki açı için bu işlemi tekrarlayın.
Aynı işlemi çeyrek 1 (sağ üst) ve 3 (sol alt) için tekrarlayacağız. Unutmayın, x'in 1x ile aynı olması gibi, π da 1π ile aynıdır. Yani 1. çeyrekteki tüm paydalara 1 ekliyoruz.
Açıları (radyan yerine) derece cinsinden listeleme süreci bu makalenin sonunda açıklanmıştır.
Adım 3: 2 Kare Masa
"2 kare tablodaki" "2", bize kalan tüm 12 koordinat çiftinin paydasının 2 olduğunu hatırlatmak içindir.
"Kare" bize her koordinatın payının bir karekök içerdiğini hatırlatmak içindir. İşleri basitleştirmek için sadece 1. çeyrek ile başlıyoruz. (İpucu: 1'in karekökünün 1 olduğunu unutmayın, bu nedenle bu kesirler sadece 1/2 olacak şekilde sadeleştirilebilir.)
Adım 4: 1, 2, 3
"1, 2, 3" bize her bir karekök altındaki sayıların ardışık sırasını gösterir. Çeyrek 1'in x koordinatları için, üst koordinattan başlayıp aşağıya doğru 1'den 3'e kadar sayarız.
Y koordinatları aynı paylara sahiptir, ancak 1'den 3'e kadar ters yönde, alttan üste doğru sayılır.
Çeyrek 2, çeyrek 1 ile aynı koordinatlara sahiptir, ancak x koordinatları negatiftir.
Çeyrek 3 x ve y koordinatlarını çeyrek 1'den değiştirir. Tüm x ve y koordinatları da negatiftir.
Çeyrek 3 gibi, çeyrek 4 de x ve y koordinatlarını çeyrek 1'den değiştirir. Ancak yalnızca y koordinatları negatiftir.
Derece cinsinden Açılar
Açıları radyan yerine dereceye göre referans vermek isteyebilirsiniz. Bunu yapmak için, (1,0) koordinatında 0 dereceden başlayın. Oradan 30, 15, 15 ve sonra 30 ekleyeceğiz. 1. çeyrekte 30'u 0'a, 45'i elde etmek için 15'den 30'a, 60'a 15'den 45'e ve elde etmek için 30'dan 60'a ekleyeceğiz. 90.
Daha sonra, dairenin sonuna ulaşana kadar 30, 15, 15 ve 30 ekleyerek, kalan çeyrekler için işlemi tekrar ederiz. Dolayısıyla, çeyrek 4, 270 ila 330 derece arasında değişen açılara sahip olacaktır (bkz. Şekil 10).
Uygulamaya Koymak
Makalenin başlarında, 30 derecelik açıya sahip ve en uzun kenarı veya hipotenüsü 7 uzunlukta olan bir dik üçgenin bilinmeyen iki kenarını bulmak için bir birim çemberin kullanılabileceğinden bahsetmiştik. Bir deneyelim.
30 ° 'nin birim çember üzerinde nerede olduğuna dikkat edin. Aşağıdaki gibi bir üçgen oluşturmak için bu çizgiyi ve x eksenini kullanın.
Bir birim çemberde, çemberin merkezinde başlayan ve çevresinde biten herhangi bir doğrunun uzunluğu 1 olacaktır. Dolayısıyla, bu üçgenin en uzun kenarı 1 uzunluğa sahip olacaktır. Dik üçgenin en uzun kenarı "hipotenüs" olarak da bilinir. Hipotenüsün çemberin çevresine temas ettiği nokta √3 / 2, 1 / 2'dir.
Böylece, üçgenin tabanının (x ekseninde) √3 / 2 uzunluğunda olduğunu ve üçgenin yüksekliğinin 1/2 olduğunu biliyoruz.
Bunu düşünmenin bir başka yolu da, taban hipotenüs uzunluğunun √3 / 2 katı ve yüksekliğin hipotenüs uzunluğunun 1/2 katı olmasıdır.
Öyleyse, hipotenüs 7 uzunluktaysa, üçgen tabanımız 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2 olacaktır. Üçgen yüksekliğinin uzunluğu 7 x 1/2 = 7/2 olacaktır.
Şimdi Bu İlginç
Trigonometrinin ilk olarak MÖ 1. yüzyılda astronomiyi, yıldızların çalışmasını ve güneş sistemini anlamak için geliştirildiği düşünülmektedir. Halen NASA ve özel uzay taşımacılığı şirketleri tarafından uzay keşiflerinde kullanılıyor.
