Mozaikler Nasıl Çalışır?

Matematiği güzelliği, zarafeti ve evrenin dokusuna örülmüş kalıpları kodlama kapasitesi için çalışıyoruz. Figürleri ve formülleri içinde seküler algı düzeni ve dini, yaratılış dilinin uzak yankılarını yakalar. Matematik yüce olana ulaşır; bazen, mozaiklerde olduğu gibi, sanata yükselir .

Mozaikler - tanımlı şekillerden oluşan boşluksuz mozaikler - mimari boyunca tekrarlanan, mikroskoplar altında kendilerini gösteren ve her petek ve ayçiçeğinden yayılan bir oranlar, sabitler ve desenler türüne aittir . Geometri, fizik, olasılık ve istatistik, hatta jeomorfoloji ve kaos teorisindeki herhangi bir sayıdaki denklemi ayırın ve bir köşe taşı gibi yerleştirilmiş pi (π) bulacaksınız. Euler sayısı (e) kalkülüste, radyoaktif bozunma hesaplamalarında, bileşik faiz formüllerinde ve bazı tuhaf olasılık durumlarında tekrar tekrar ortaya çıkar. Altın oran (φ), insanlar tarafından keşfedilmeden çok önce sanatın, tasarımın, mimarinin ve müziğin temelini oluşturdu, aynı zamanda yaprakların ve gövdelerin, kemiklerin, atardamarların ve ayçiçeklerinin doğal düzenlemelerini tanımladı veya beyin dalgalarının saat döngüsüne uydu [kaynaklar:Padovan , Weiss , Roopun ]. Hatta kendi benzersiz döşeme ilerlemesini üreten başka bir çok yıllık model favorisi olan Fibonacci dizisi ile bir ilişkisi vardır .

Bilim, doğa ve sanat da mozaiklerle dolup taşıyor. π, e ve φ gibi, sıradan kaldırımlar, duvar kağıtları, yapbozlar ve karo zeminlerden Hollandalı grafik sanatçısı MC Escher'in büyük sanatına veya 14. yüzyıldan kalma Mağribi tahkimatının nefes kesici çini işine kadar bu yinelenen desenlerin örnekleri her gün bizi çevreliyor. , Alhambra, Granada, İspanya. Aslında, "mozaik" kelimesi, bir mozaikte tipik olarak kare bir karo olan Latince tessera kelimesinin küçültülmüş hali olan tessella'dan türemiştir . Tessera , Yunanca dört anlamına gelen tessares kelimesinden gelebilir .

Matematik, bilim ve doğa, anlamları ne olursa olsun, bunun gibi faydalı kalıplara bağlıdır. Mozaiğin veya gravürün aşkın güzelliğinin ötesinde, mozaikler matematik, astronomi, biyoloji, botanik, ekoloji, bilgisayar grafikleri , malzeme bilimi ve yol sistemleri de dahil olmak üzere çeşitli simülasyonlarda uygulama bulur .

Bu makalede, size bu matematiksel mozaiklerin ne olduğunu, ne tür simetrilere sahip olabileceklerini ve matematikçilerin ve bilim adamlarının problem çözme hilelerinin araç kutularında hangi özel mozaikleri sakladıklarını göstereceğiz.

İlk olarak, bir mozaiğin nasıl oluşturulacağına bakalım.

Mozaikler, gamı ​​temelden sarsıcıya kadar çalıştırır. En basitleri, iki boyutlu bir düzlemi boşluk bırakmadan kaplayan tek bir şekilden oluşur. Oradan, gökyüzü, çoklu düzensiz şekillerden oluşan karmaşık desenlerden, alanı veya daha yüksek boyutları doldurmak için birbirine uyan üç boyutlu katılara kadar sınırdır .

Üç düzgün geometrik şekil kendi aralarında mozaiklenir: eşkenar üçgenler, kareler ve altıgenler. Dikdörtgenler ve eşkenar dörtgenler (elmaslar) dahil olmak üzere diğer dört kenarlı şekiller de uygundur. Uzantı olarak, eşkenar olmayan üçgenler arka arkaya yerleştirilirse sorunsuz bir şekilde döşenir ve paralelkenarlar oluşturur. Garip bir şekilde, herhangi bir şekle sahip altıgenler, karşılıklı kenarları eşitse mozaiklenir. Bu nedenle, herhangi bir dört kenarlı şekil, arka arkaya yerleştirildiğinde altıgen yaparak boşluksuz bir mozaik oluşturabilir.

Ayrıca, düzenli çokgenleri birleştirerek veya belirli düzenlemelerde düzenli ve yarı düzenli çokgenleri karıştırarak bir düzlemi mozaikleyebilirsiniz. Çokgenler, üçgenler ve dikdörtgenler gibi çizgi parçalarından oluşan iki boyutlu şekillerdir. Düzgün çokgenler, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu çokgenlerin özel durumlarıdır. Eşkenar üçgenler ve kareler düzgün çokgenlere iyi örneklerdir.

Tüm mozaikler, hatta MC Escher'inki gibi düzgün ve karmaşık olanlar bile, boşluksuz tekrar eden bir şekille başlar. İşin püf noktası, şekli değiştirmek - örneğin bir eşkenar dörtgen - böylece hala birbirine tam oturacak şekilde. Basit bir yaklaşım, bir şekli bir taraftan kesip diğerine yapıştırmayı içerir. Bu, kendisiyle uyumlu ve kolayca istiflenen bir şekil üretir. Ne kadar çok taraf değiştirirseniz, desen o kadar ilginç hale gelir.

Daha maceracı hissediyorsanız, bir tarafa dalgalı bir çizgi karalamayı ve ardından aynı çizgiyi karşı tarafa kopyalamayı deneyin. Bu yaklaşım, parçaların düzgün bir şekilde birbirine kenetlenmesini sağlamak için biraz ince ayar gerektirebilir. Örneğin, çokgeninizde tek sayıda kenar varsa, kalan tarafı ikiye bölmek ve ardından bölmenin her iki tarafına ayna görüntüsü şekiller çizmek isteyebilirsiniz. Bu, kendisiyle kenetlenen bir taraf yaratır.

Mozaikli iki veya daha fazla şekille şansınızı deneyin. Bunu geometrik olarak yapabilir veya sayfayı istediğiniz herhangi bir şekille doldurabilir ve ardından negatif boşluğa uyan bir görüntü hayal edebilirsiniz. İlgili bir yöntem, bilinen bir mozaikleme şeklinin daha küçük şekillerle doldurulmasını gerektirir. Fraktal mozaikler bile var - birbirine rahatça uyan ve birden çok ölçekte kendine benzeyen şekil kalıpları.

İlk sonuçlarınız biraz saçma görünüyorsa endişelenmeyin. Bu çılgın mozaiklerde ustalaşmak Escher'in yıllarını aldı ve onun bile her zaman mantıklı gelmeyen eşleşmeleri vardı.

Şimdi temelleri attığımıza göre, araştırmacıların zorlu teorik ve uygulamalı problemleri çözmek için kullandıkları bazı özel mozaiklere bir göz atalım.

MC Escher

Hiçbir mozaikleme yeteneği, Hollandalı grafik sanatçısı MC Escher'i gölgede bırakamaz . Bir litograf, oduncu ve oymacı olan Escher, Alhambra'yı genç bir adam olarak ziyaret ettikten sonra yüce şekillerle ilgilenmeye başladı [kaynak: St. Andrews Üniversitesi ].

Mozaikleri geometrik şekillerden organik ve fantastik olanlara taşıyan ilk kişi olmasa da, Escher kendisini onun önde gelen uygulayıcısı olarak kabul ettirdi. Hayali, göz kamaştırıcı ve çoğu zaman imkansız olan sanat eserleri günümüzde oldukça popüler olmaya devam ediyor.

Araştırmacılar mozaikleri araştırıp matematiksel olarak tanımladıkça, zor problemleri çözmede başarılı olan belirli türleri belirlediler. Popüler bir örnek, Dirichlet mozaikleme veya Thiessen çokgenleri olarak da bilinen Voronoi mozaiklemedir ( VT ).

 VT, bir haritadaki yıldızlar gibi bir dizi noktaya dayanan bir mozaiktir . Her nokta, tanımlama noktasına başka herhangi bir noktadan daha yakın olan tüm alanı kapsayan, çizgi parçalarından oluşan kapalı bir şekil olan çokgen bir hücre tarafından çevrelenir. Hücre sınırları (veya çokgen bölümleri) iki noktaya eşit uzaklıktadır; Üç veya daha fazla hücrenin buluştuğu düğümler, üç veya daha fazla tanımlayıcı noktaya eşit uzaklıktadır. VT'ler daha yüksek boyutları da mozaikleyebilir.

Ortaya çıkan VT paterni, bir arının bütün gece nektar bükücüden sonra oluşturabileceği petek türüne benzer . Yine de, bu çarpık hücrelerin güzellikten yoksun olduğu şeyi, değer olarak fazlasıyla telafi ediyorlar.

Diğer mozaikler gibi, VT'ler de doğada tekrar tekrar ortaya çıkar. Nedenini görmek kolaydır: Bir kayadaki liken sporları gibi sabit bir oranda birlikte büyüyen nokta kaynakları içeren herhangi bir fenomen VT benzeri bir yapı üretecektir. Birbirine bağlı kabarcıkların koleksiyonları, üç boyutlu VT'ler oluşturur; araştırmacıların köpükleri modellerken yararlandıkları bir benzerlik.

VT'ler, veri modellerini görselleştirmek ve analiz etmek için de kullanışlı bir yol sağlar. Yakından kümelenmiş uzamsal veriler, hücrelerle yoğun alanlar olarak bir VT'de öne çıkacaktır. Gökbilimciler, gökada kümelerini tanımlamalarına yardımcı olmak için bu kaliteyi kullanır .

Bir bilgisayar işlemcisi, nokta kaynak verilerinden ve bir dizi basit talimattan anında bir VT oluşturabildiğinden, VT'lerin kullanılması hem bellekten hem de işlem gücünden tasarruf sağlar - en yeni bilgisayar grafikleri oluşturmak veya karmaşık sistemleri simüle etmek için hayati nitelikler. VT'ler, gerekli hesaplamaları azaltarak, protein katlanması, hücresel modelleme ve doku simülasyonu gibi aksi takdirde imkansız olan araştırmalara kapı açar.

VT'ye yakın bir akraba olan Delaunay mozaikleme aynı zamanda çeşitli kullanımlara sahiptir. Bir Delaunay mozaiklemesi yapmak için, bir VT ile başlayın ve ardından hücreyi tanımlayan noktalar arasına çizgiler çizin, böylece her yeni çizgi iki Voronoi poligonunun paylaşılan bir çizgisini keser. Ortaya çıkan tombul üçgen kafes, grafikleri ve araziyi basitleştirmek için kullanışlı bir yapı sağlar.

Matematikçiler ve istatistikçiler, uzaydaki her nokta için bir denklem çözmek gibi başka türlü hesaplanamayan soruları yanıtlamak için Delaunay mozaiklerini kullanırlar. Bu sonsuz hesaplamayı denemek yerine, her Delaunay hücresi için bir çözüm hesaplarlar.

Einstein, 27 Ocak 1921'de Berlin'deki Prusya Bilimler Akademisi'ne hitaben yaptığı konuşmada, "Matematik yasaları gerçeğe atıfta bulunduğu sürece, kesin değillerdir ve kesin oldukları sürece, atıfta bulunmazlar. gerçeğe." Açıkça, mozaikli yaklaşımlar mükemmellikten uzaktır. Bununla birlikte, aksi takdirde hantal sorunları mevcut hesaplama gücü ile yönetilebilir bir forma indirerek ilerlemeyi sağlarlar. Dahası, bize kozmosun altında yatan güzelliği ve düzeni hatırlatıyorlar.

Korkunç Simetri

Tekrarlayan desenlere sahip tüm iki boyutlu düzlemler, simetri türlerini tanımlayan 17 "duvar kağıdı grubundan" birine girer (tüm mozaikler simetrik olmasa da) [kaynak: Joyce ]. Dört ana kategori şunları içerir:

1. Çeviri : Düzlemi belirli bir yönde kaydırın ve değişmeden kalır
2. Döndürme : Düzlemi bir açıyla döndürün ve değişmeden kalır
3. Kayma yansıması : Düzlemi bir vektör boyunca kaydırın ve aynı vektör hakkında yansıtın ve değişmeden kalır
4. Ayna simetrisi (basit yansıma) : Düzlemin bir kısmına bir ayna tutun ve değişmeden kalır (özel bir kayma yansıması durumu)

Alhambra'nın ünlü mozaikleri 13 simetri grubunu içeriyor. Mısır sanatı 12 [kaynak: Grünbaum ] kullandı.

İlgili Makaleler

Daha Fazla Harika Bağlantı